Vektorräume |
18.01.2016, 12:09 | Nukie2009 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vektorräume ich habe Probleme bei einer Aufgabe . Seien K ein Körper, V ein endlichdimensionaler Vektorraum über K und f (V). a) Zeige, dass dimKer(f) 1/2 dim V falls f^2 = 0 (V). b) Gilt auch die Umkehrung von (a)? Ich habe einfach null Plan was ich machen muss, bitte helft mir :/! |
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18.01.2016, 12:22 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das geht z.B. über einen Widerspruchsbeweis: Angenommen, es wäre . Was weißt du dann über ? (Dimensionssatz) Außerdem soll ja gelten , d.h für alle gilt . Daraus erhältst du auch eine Eigenschaft von . Zusammen ergibt das einen Widerspruch. |
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18.01.2016, 12:38 | Nukie2009 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja dann müsste nach dem Dimensionssatz dimIm(f) 1/2 sein. Nachdem dann f^2=0 ist würde das bedeuten, dass das Bild also die Dimension des Bildes = 0 ist und somit einen Wiederspruch darstellt, da es größergleich 1/2 dim V sein müsste? Oder wie genau kann ich mir das vorstellen :$. Danke für die schnelle Antwort! |
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18.01.2016, 23:05 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So stimmt das nicht. Es sollte wohl lauten: .
Welches Bild meinst du jetzt? Das Bild von besteht nur aus dem Nullvektor, und hat deswegen Dimension ; richtig. Es ist aber nicht (zwangsläufig) , deswegen kann die Dimension des Bildes von auch größer als sein. Du kannst aber trotzdem etwas über die Dimension des Bildes von sagen: Für alle gilt . Nun liegt im Bild von ; außerdem wird von der Abbildung auf den Nullvektor abgebildet. D.h. liegt im ... Und jetzt machst du weiter. |
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20.01.2016, 19:27 | SinusBanana | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich würds einfach direkt machen: Da f^2=0 ist das Bild von f Teilmenge des Kerns von f und somit gilt dim Bild (f) kleiner gleich dim Kern (f). Mittels Dimensionsformel folt dann 2dim Kern(f) dim Bild(f)+ dim Kern (f) = dim V und somit dim Kern (f) 1/2dim V LG |
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