Ellipse / Polardarstellung

Neue Frage »

25.08.2004, 15:48	Remington Steele	Auf diesen Beitrag antworten »
Ellipse / Polardarstellung Hi, und noch folgende Aufgabe: "Ein Planet kreist um die Sonne auf einer Ellipse (mit Brennpunkt in der Sonne), deren Polardarstellung gegeben wird durch r = p/(1+ epsilon cos phi) (p > 0, 0 < epsilon < 1). Die Bewegung erfolgt nach Keplerschen Gesetzen (Insbesondere, die Fläche des Segments hängt linear von der Zeit ab). Der Planet braucht ein Jahr, um die Sonne umzukreisen. Wie viel Zeit braucht der Planet, um von dem Punkt phi = 0 bis zum Punkt phi = pi/2 zu gelangen?" Thx...
25.08.2004, 16:29	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ellipse / Polardarstellung Verschoben edit: Hier stand Mist.
25.08.2004, 17:07	Bruce	Auf diesen Beitrag antworten »
Lieber Mathespezialschüler, in diesem Fall liegt Du falsch! Bedenke, daß der Nullpunkt hier ein Brennpunkt der Ellipse ist. Daraus folgt, daß die Fläche zwischen phi=0 und phi=pi/2 nicht ein Viertel der gesamten Ellipsenfläche ist. Denk nochmal drüber nach und mach nochmal sorgfältig eine Skizze! Gruß von Bruce.
25.08.2004, 17:15	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, sorry, aber Remington Steele hat nichts davon geschrieben, dass nicht der Mittelpunkt, sondern ein Brennpunkt der Nullpunkt ist. Und die Polardarstellung kenn ich noch nich so gut ... Aber danke!
25.08.2004, 17:47	MisterSeaman	Auf diesen Beitrag antworten »
Hehe... Das war bei uns in Grundlagen der Physik mal ne Klausuraufgabe. Hoho... Quatsch war es trotzdem... Weg damit. Gruß MisterSeaman
25.08.2004, 21:48	Bruce	Auf diesen Beitrag antworten »
O.K. Seemann, dann knacken wir das Problemchen mal! Denken wir uns den Mittelpunkt der Ellipse im Nullpunkt eines kartesischen Koordinatensystems. Dann kann ObdA. die Sonne in den Brennpunkt bei $\begin{eqnarray} x_S=\sqrt{a^2-b^2}=a\epsilon \end{eqnarray}$ gelegt werden. An dieser Stelle gilt: $\begin{eqnarray} y_S=p=\frac{b^2}{a}. \end{eqnarray}$ Nun betrachten wir die Punkte P1=(x_s,y_s), P2=(x_s,-y_s), P3=(a,0) und berechnen den Flächeninhalt A, der vom Ellipsenbogen von P1 nach P2 durch P3 und der Strecke P1P2 eingeschlossen wird. In einer guten Formelsammlung findet man: $\begin{eqnarray} A=ab\,\arccos\frac{x_s}{a}-x_s\,y_s=ab\arccos\epsilon-b^2\epsilon. \end{eqnarray}$ Die gesuchte Fläche ist die Hälfte von A, also A/2. Da nach dem 2.Kepler'schen Gesetz die Flächengeschwindigkeit $\begin{eqnarray} C=\frac{\pi ab}{T} \end{eqnarray}$ für die Planetenbahn mit der Umlaufzeit T eine Konstante ist, gilt für die gesuchte Zeit t: $\begin{eqnarray} t=\frac{A}{2C}=\frac{T}{2\pi}(\arccos\epsilon-\epsilon\sqrt{1-\epsilon^2}). \end{eqnarray}$ Da die Exzentrizitäten der Planetenbahnen nicht größer als 0.25 sind, kann t recht gut berechnet werden, wenn die folgenden Näherungen benutzt werden: $\begin{eqnarray} \arccos x\approx\frac{\pi}{2}-x-\frac{x^3}{6} \quad\mathrm{und}\quad \sqrt{1-x^2}\approx 1-\frac{1}{2}x^2. \end{eqnarray}$ Damit ergibt sich schließlich: $\begin{eqnarray} t\approx\frac{T}{4}(1-\frac{4}{\pi}\epsilon(1-\frac{\epsilon^2}{6})). \end{eqnarray}$ Gruß von Bruce.
Anzeige

25.08.2004, 23:20	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ellipse / Polardarstellung Wenn der Zeitpunkt Phi=0 der Sonnennächste Punkt ist, dann ist Phi=Pi/2 der senkrecht zur Hauptachse direkt überm Brennpunkt liegende Punkt. Die DAZU zugehörige Ellipsenfläche ist einfach zu berechnen F = 1/2b/a( a^2arccos((a-f)/a) - (a-f)sqrt(a^2-(a-f)^2) ) dabei ist: a= große Halbachse = p/2 * (1/(1+eps) + 1/(1-eps)) f= minimalster Abstand zur Sonne = p/(1+eps) a-f= BrennpunktMittelpunkt = a * eps b= kleine Halbachse = sqrt(a^2 - (a-f)^2) = a * sqrt(1 - eps^2) Ud= die Umlaufzeit in Tagen für die gesuchte Zeit 't' in Tagen gilt dann *t = F/Fd = F/(Piab/Ud) = UdF/(Piab)** Hier am Beispiel Erde: a = 149.59510^6 km b = 149.574010^6 km f = 147.09 10^6 km a - f = 149.59510^6 -147.09 10^6 =2.50510^6 F = 1/2 149.5740/( 149.595)((149.59510^6)^2arccos(2.505/149.595) - 2.50510^6sqrt((149.59510^6)^2 - 2.505^2)) km² = 1.719900269 10^16 km² Die Flächenkonstante Fd = Piab/365 = Pi149.59510^6149.574010^6 km²/365d =1.92588430710^14 Km²/d liefert schließlich die Bedingung Fd t = F t = F/Fd = (1.719900269 10^16 km²)/(1.92588430710^14 Km²/d)= = 89.30444 d .
27.08.2004, 08:08	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ellipse / Polardarstellung Hier mal die Formel für beliebigen Winkel 'phi' 0 <= phi < 2Pi (entspr 0° bis 360°) und dem zugehörigen Zeitpunkt ' t(phi) ' U_d ist die Gesamtumlaufzeit, (t(phi) , U_d gl. Einheit) und 'eps' die numerische Exzentrizität der in Polarkoordinaten gegebenen Bahn. Das Zentralgestirn befindet sich im Ursprung und dieser ist zugleich ein Brennpunkt der Umlaufbahn. Im Winkel phi = 0 ist die Entfernung Zentralgestirn-Planet minimal. (Periphel) $\begin{eqnarray} t(\phi)\,=\,{\frac{\it U_d}{2\,\pi}}\,\left (\pi -\arccos(\,{\frac{{\it -}\left (\cos(\phi)+{\it eps}\right )}{1+{\it eps}\,\cos(\phi)}}){\it signum}(\pi -\phi)-{\frac {{\it eps}\,\sin(\phi)\sqrt {1-{{\it eps}}^{2}}}{\left (1+{\it eps}\,\cos(\phi)\right )}}\right ) \end{eqnarray}$ . Edit: abgeänderte Formel nun soo als richtig beschlossen. Zum vorherigen Fehler: Wurzel im Nenner MUSSTE falsch sein wie 'Bruce' völlig richtig erkannt hatte. Der Gesamtwert der Klammer darf 2Pi nicht übersteigen und das war ZUVOR mit Sicherheit möglich und nicht erst bei 'eps' = 1.
27.08.2004, 09:59	Bruce	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Poff, ich bin der Meinung, daß in deiner Formel ein Fehler steckt, und zwar im letzten Term. Wenn ich eps gegen 1 gehen lasse (d.h. b gegen Null für festes a), dann divergiert dein Ergebnis für phi=pi/2 gegen minus Unendlich! Das ist physikalisch nicht plausibel, da müßte 0 als Grenzwert herauskommen! Sinvoll wäre es, wenn im letzten Term $\begin{eqnarray} \frac{\epsilon}{\sqrt{1-\epsilon^2}} \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \epsilon\sqrt{1-\epsilon^2} \end{eqnarray}$ ersetzt würde. Ach so, noch eine Kleinigkeit: Ersetze in deiner Formel doch bitte eps durch \epsilon, dann ist das Ergebnis besser lesbar. Gruß von Bruce.
27.08.2004, 10:52	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Bruce, ich hab die Formel gegen diverse 'andere Rechnungen' quergeprüft. Allerdings nicht in solch einer extremen Form, werd das nachholen. Mit ziemlicher Sicherheit ist aber kein Fehler drin. Das was das du ansprichst ist korrekt, nur musst dir auch klar sein was das bedeutet 'eps' gegen 1. Bei 'eps' = 1 existiert nämlich keine geschlossene Ellipse mehr, weil kleine Halbachse = 0 und dazu im Ausgleich wohl die große Halbachse ins Unendliche anwachsen müsste und dies dürfte dann auch die enormen Flächenwechsel bei geringsten Winkeländerungen erklären. Wenn der Planet unter 'solchen' Bedingungen seine Umlauf bahn halten 'will' dann dürfte das nur möglich sein indem sie enorm weit nach außen gezogen wird. Darfst nicht vergessen das Zentralgestirn stände in dem Moment praktisch im Scheitel. Die Passiergeschwindigkeit müsste dort wegen 'Keppler' kurzfristig ebenfalls unendlich hoch ansteigen wegen der Flächengeschwindigkeit .... Klar natürlich dass das so nicht geht, hat ja alles eine Ausdehnung, ... ist ja auch nur ein 'Gedankenspiel'
27.08.2004, 11:21	Bruce	Auf diesen Beitrag antworten »
@Poff Der Fall a=const. mit b gegen Null oder gleich Null entspricht dem freien Fall, und der ist sehr wohl real. Die Fläche muß nicht divergieren, die geht dann natürlich auch gegen Null. In deiner Formel taucht die Fläche auch gar nicht auf, da steckt lediglich die Umlaufdauer Ud drin. Gruß von Bruce.
27.08.2004, 11:23	Remington Steele	Auf diesen Beitrag antworten »
Hui - da habe ich ja was angerichtet - danke für die ganzen Beiträge. Habe noch nicht alles durchgelesen, werde ich noch tun... weiß nicht ob Ihr die Lösung wissen wollt? Wenn ja, dann gebt einfach Bescheid...
27.08.2004, 11:29	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
@Bruce, 'BASTELN' tu ich nicht. Nichts liegt mir ferner als einen Term nach praktischem Wollen durch was scheinbar passendereres zu ersetzen. Klar wenn sich ein Fehler eingeschlichen haben sollte dann schon, aber sonst nicht. Aber du hast nicht Unrecht, der gesamte Klammerausdruck darf maximal nur auf 2Pi ansteigen und das kann ja nicht gewähleistet sein wenn die anderen Ausdrücke konstant beschränkt sind der eine hingegen beliebig ansteigen kann. Hatte da mehr die Flächenformel im Kopf, aber das ist ja nur ein Produkt mit U_d/(2Pi), das nicht größer werden dürfte als U_d. :-/
27.08.2004, 11:30	Bruce	Auf diesen Beitrag antworten »
@RemingtonSteele Was das Internet nicht alles hervorbringt . P.S. Die Lösung haben wir gefunden, aber wenn Du Zeit und Lust hast, dann lass uns deine auch mal lesen.
27.08.2004, 11:31	Remington Steele	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, hab' sie ihm Moment leider nicht dabei, aber wenn ich daheim bin, werde ich sie posten... kann aber bis heute abend oder morgen dauern...
27.08.2004, 11:36	Bruce	Auf diesen Beitrag antworten »
@Poff Als Physiker weiß ich: Intelligentes Basteln und Raten sind für die Inspiration sehr nützlich! Erst dann kommt der exakte Beweis, und wenn man eine Ahnung davon hat, wie das Ergebnis in bestimmten Fällen aussehen muß, dann ist das sehr hilfreich. Gruß von Bruce.
27.08.2004, 11:54	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
@Bruce, so wie es im Moment aussieht muss der Therm völlig raus. Eine gewisse praktische geringe Ungereimtheit war auch mir aufgefallen, hab dann weiter nicht drüber nachgedacht, dieweil es von einer ganz geringen Abweichung sonst rund 'um die Uhr' sauber passte. Auch nicht sehr verwunderlich weil bei meinem praktischen 'Probebeispiel Erde' eher das Gegenteil mit eps = 0 vorliegt. Also die Rausnahme des Therms hat sofort die Übereinstimmung erhöht .... Nun muss ich mal rausfinden wo und wie sich das eingeschlichen haben kann ... ?? so, ich hab die Formel mal abgeändert. Ganz sicher bin ich mir noch nicht, jedoch passt diese Variante wenigstens zu meinen Unterlagen und die numerischen Resultate passen auch 'besser' zusammen. Wobei sich Differenzen jedoch eh erst ab der 7. Nachkommastelle zeigen. Aber das hat KEINE Aussagekraft, weil mein Testbeispiel keinen agressiven 'eps' Wert hat. Entstanden scheint das so, dass ich den Therm (1-eps²) im Zähler verschluckt habe. (1-eps²)/sqrt(1-eps²) = sqrt(1-eps²) Weil das im 'Numerischen Test' dann ziemlich sauber ablief hab ich nicht weiter über mögliche Fehlerquellen nachgedacht. ( Ist fast unverzeihlich, nicht wegen dem Fehler, sondern weil ich das nicht gesehen hab. Nach solchen Kanten muss man diese Dinge abchecken. ) Der Einwand von 'Bruce' war hundert pro richtig, der Fehler war auszumachen OHNE Rechnerei, dieweil der Wert der großen Klammer 2*Pi nicht überschreiten darf ... an einem 'agressiveren eps Beispiel' werd ich das nun mal überprüfen ------------------------------ So, ich hab die Formel nun überprüft an einem Beispiel mit 'eps' = 0.99 Da liefert NUR die geänderte mit der Wurzel im Zähler ASTREINE Ergebnisse. Die ohne den Wurzeltherm und besonders die mit der Wurzel im Nenner versagen KLÄGLICH, wohingegen die aktuelle 100pro deckungsgleich mit der schmutzigen, völlig balastüber- ladenen ABER richtigen aus dem anderen Thread übereinstimmt.

Neue Frage »

Antworten »

Ellipse / Polardarstellung

Verwandte Themen