Reihenkonvergenz / Divergenz alternierende Reihe

18.01.2016, 16:55

tom_zi

Reihenkonvergenz / Divergenz alternierende Reihe

Ich soll diese Reihe auf Konvergenz prüfen.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} (k+1)^{k-1} / (-k)^{k} \end{eqnarray*}$

Dazu habe ich es mit dem Leibnitzkriterium versucht und wollte nachweisen, dass die Folge monton fällt. Tut sie aber nicht. Wie fahre ich jetzt fort?

Mir ist kein Verfahren bekannt mit dem ich alternierede Reihen noch prüfen kann.

18.01.2016, 17:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von tom_zi
Dazu habe ich es mit dem Leibnitzkriterium versucht und wollte nachweisen, dass die Folge monton fällt. Tut sie aber nicht.

Die Reihengliedfolge selbst nicht, aber ihr Betrag? Der ist sehr wohl monoton fallend.

Strukurell versteht man die Reihe übrigens besser, wenn man sie

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k+1} \cdot \left(1+\frac{1}{k}\right)^k \end{align*}$

schreibt. An dieser Darstellung erkennt man auch, dass die Reihenglieder eine Nullfolge bilden - eine wichtige und oftmals unterschätzte (um nicht zu sagen: nicht ernst genommene) Voraussetzung des Leibniz-Kriteriums. smile

18.01.2016, 17:44

tom_zi

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danke für deine antwort, kannst du bitte die umformungsschritte erklären

18.01.2016, 20:54

HAL 9000

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Für die Monotonie oder für $\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k+1} \cdot \left(1+\frac{1}{k}\right)^k \end{align*}$ ?

19.01.2016, 11:59

tom_zi

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für das letztere

19.01.2016, 12:04

HAL 9000

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Nun, die Extraktion des alternierenden Vorzeichens

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(k+1)^{k-1}}{(-k)^k} = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \cdot a_k \end{align*}$ mit $\begin{align*} a_k := \frac{(k+1)^{k-1}}{k^k} \end{align*}$

sollte klar sein (oder ?), bleibt die Umformung des positiven Wertes $\begin{align*} a_k \end{align*}$ :

$\begin{align*} a_k = \frac{1}{k+1}\cdot \frac{(k+1)^k}{k^k} = \frac{1}{k+1}\cdot \left( \frac{k+1}{k} \right)^k = \frac{1}{k+1}\cdot \left( \frac{k}{k} + \frac{1}{k} \right)^k = \frac{1}{k+1}\cdot \left( 1+\frac{1}{k} \right)^k \end{align*}$

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