Relationen - Notationsfrage

18.01.2016, 17:29	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Relationen - Notationsfrage Hallo, Mein Buch sagt: Eine Relation R auf A, also $\begin{eqnarray} R \subset A \times A \end{eqnarray}$ heisst: reflexiv <=> für alle $\begin{eqnarray} x \in A : (x,x) \in R \end{eqnarray}$ Beispiel: A={1,2} R={(1,1)} Frage 1: Wähle x=2. Kriegen wir hier nicht ein Problem mit dem Allquantor? Immerhin ist (2,2) nicht Element von R. Frage 2: Das hier ist ja eine Äquivalenz, kann ich daraus schliessen wie die Menge aufgebaut ist? (eien Relation ist ja nur eine Menge. Sehen wir uns dazu kurz die folgende Definition an: antisymmetrisch <=> $\begin{eqnarray} (x,y) \in R \wedge (x,y) \in R \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} x=y \forall x,y \in A \end{eqnarray}$ Angenommen wir haben eine Relation R die ist antisymmetrisch. Jetzt nehmen wir ein x und ein y beliebig aus A. Das heisst auch, wir nehmen einfach jedes einzelne einmal für x und einmal für y in allen möglichen kombinationen. Wenn nun für jedes dieser x, y die obige Aussage wahr ist, so ist R tatsächlich symmetrisch. Ist diese Intepratation okay? (Wenn man sich mal überlegt hat, was antisymm. ist und sich z.B. die Wahrheitstafel einer Implikation anschaut, dann macht das doch Sinn) Könnte mir evtl. jemand einen Link geben zu einer Homepage wo diese Eigenschaften so definiert sind wie die Mengen aussehen? Und nicht mit Aussagenlogik? Mir ist klar, dass man auch durch die Aussagenlogik sieht welche Elemente drin sind, aber eine "direktere" Megnendefinition wäre evtl. auch schön. Danke
18.01.2016, 18:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} R=\{(1,1)\}\subset A\times A=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\} \end{eqnarray}$ ist keine Äquivalenzrelation, weil $\begin{eqnarray} (2,2)\notin R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} R\subseteq A\times A \end{eqnarray}$ ist genau dann symmetrisch, wenn die Diagonale $\begin{eqnarray} D=\{(x,x):x\in A\} \end{eqnarray}$ eineTeilmenge von $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ist Ordnungsrelationen sind antisymmetrisch. $\begin{eqnarray} a\le b \wedge b\le a\Rightarrow a=b \end{eqnarray}$ . Das muss aber nicht für alle $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ gelten . Nicht jede Ordnungsrelation ist eine Totalordnung.
22.01.2016, 11:30	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast meine Frage falsch verstanden. Ich sehe nicht ein, wieso wir eine Teilmenge betrachten können. Die Notation ist klar: Für alle x,y in A. Bei einer Teilmegne ist das einfach garnie erfüllt. Mit ist durchaus klar, dass eine Teilmenge reflexiv etc. sein kann. Aber ich sehe nicht, wie ich das in Einklang mit dem Allquantor der Bedigung bringen soll. Dein R z.B., ist Reflexiv, genau dann wenn für alle x aus A, dass Paar (x, x) wieder in R ist. Das ist nicht der Fall. Ausser man nimmt an dass $\begin{eqnarray} R=A\times A \end{eqnarray}$ Hoffe meine Frage ist ein wenig klarer. Edit: Ich möchte doch ein Beispiel machen. $\begin{eqnarray} A={1,2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A \times A = \{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\} \end{eqnarray}$ Betrachten wir $\begin{eqnarray} R'={(2,2)} \end{eqnarray}$ . Ist R' reflexiv? Offensichtlich nein. Beweis: Für x=1 ist (x,x) nicht in R. So lese ich es. Nun denke ich, kann ich aber argumentieren: Eine reflexive Teilmenge von $\begin{eqnarray} A\times A \end{eqnarray}$ wäre unser R'. Somit ist auch R' reflexiv. (Aber irgendwie finde ich das trotzdem nicht wirklich verträglich mit der Definition) Ich seh einfach nicht ein, wieso man eine Teilmenge wählen kann, dann aber den Allqauntor nutzt. Der Allquantor impliziert dann doch autoamtish dass R=AxA, weil es ja für alle Elemente von A gelten muss und nicht nur für einige, was bei einer Teilmenge der Fall wäre.
22.01.2016, 12:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe keine neue Relation eingeführt sondern deine Relation $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ auf deiner Menge $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ benutzt. Dieses $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ und auch deine Relation $\begin{eqnarray} R' \end{eqnarray}$ ist keine reflexive Relation auf $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} R=\{(1,1)\} \end{eqnarray}$ ist eine Menge, $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ist keine Relation auf $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ , insbesondere keine reflexive Relation auf $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ , denn eine Relation auf $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ wäre eine Menge $\begin{eqnarray} T\subseteq R\times R \end{eqnarray}$ , z.B. die Äquivalenzrelation $\begin{eqnarray} T=\{((1,1),(1,1))\} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} R''=\{(1,1),(2,2)\}\subset A\times A \end{eqnarray}$ ist eine Äquivalenzrelation auf $\begin{eqnarray} A=\{1,2\} \end{eqnarray}$ .
22.01.2016, 13:48	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab eben meinen Fehler gesehen. Danke

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »