Komplexe Eulersche Zahl nicht nachvollziehbar mit Lösung

18.01.2016, 19:41

Alex0204

Komplexe Eulersche Zahl nicht nachvollziehbar mit Lösung

Hallo ins Board!

Nachdem ich mir seit Stunden die Haare raufe und nicht weiter komme, wie der Professor auf eine Lösung bzw. ein Zwischenergebnis kommt, frage ich nun euch um einen Gedankenanstoß zu erhalten.

Laut seiner Umformung in der Musterlösung ist $\begin{eqnarray*} e^{i*b*\frac{\pi }{2} } = 1 \end{eqnarray*}$

Warum? "b" ist als Element der reellen Zahlen angegeben und damit ein Platzhalter. Ich kann doch ohne dessen konkrete Kenntnis hier nicht weiter machen?!
Selbst die Umformung in die trigonometrische Form hat uns leider nicht weiter gebracht.

Wie kommt er auf diese 1? Stimmt das überhaupt?

Vielen Dank bereits im Voraus für eure Hilfe!

18.01.2016, 20:37

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Eulersche Zahl nicht nachvollziehbar mit Lösung
Wie er auf diese Gleichung, insbesondere die 1 rechts, kommt, weiß ich natürlich auch nicht, aber man kommt von da sehr wohl weiter. Zum Beispiel ist b=0 nun eine Lösung. Vielleicht fallen Dir ja noch andere ein.

Beantwortet das Deine Frage?

Viele Grüße
Steffen

19.01.2016, 08:49

Alex0204

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RE: Komplexe Eulersche Zahl nicht nachvollziehbar mit Lösung
Hallo Steffen!

Vielen Dank für deine Antwort. Den Term den ich dort geschrieben habe, ist keine Gleichung sondern der nächste Schritt in seiner Lösung.

Ich habe hier mal die gesamte Lösung der Aufgabe angehangen.

https://www.dropbox.com/s/l7jg4yqnvzf2uh0/Unbenannt.png?dl=0&s=sl

19.01.2016, 09:17

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Eulersche Zahl nicht nachvollziehbar mit Lösung
Dann ist's klar. Du hast die Betragsstriche vergessen!

Denn es ist durchaus $\begin{align*} \left| e^{i \cdot b \cdot \frac{\pi }{2} } \right| = 1 \end{align*}$ .

Bei der Polardarstellung einer komplexen Zahl ist der Faktor vor der e-Funktion der Betrag.

19.01.2016, 09:27

Alex0204

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RE: Komplexe Eulersche Zahl nicht nachvollziehbar mit Lösung
Entschuldige bitte, die Betragsstriche hab ich verschluckt unglücklich

Und weil da "nichts" steht, bzw. richtiger gesagt, $\begin{eqnarray*} 1*e^{i*b*\frac{\pi }{2} } \end{eqnarray*}$ ist die 1 davor der $\begin{eqnarray*} | z| \end{eqnarray*}$ Betrag?

Dann wäre $\begin{eqnarray*} 2*e^{i*b*\frac{\pi }{2} } = 2 \end{eqnarray*}$ ? Oder was ist gleich noch genau der Rechenweg dahinter verallgemeinert?

19.01.2016, 09:32

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Eulersche Zahl nicht nachvollziehbar mit Lösung

Zitat:

Original von Alex0204
ist die 1 davor der $\begin{eqnarray*} | z| \end{eqnarray*}$ Betrag?

Genau. Die Eulerformel lautet doch $\begin{align*} z = a+bi=r \cdot e^{i \varphi} \end{align*}$ mit $\begin{align*} r = \sqrt {a^2+b^2} = |z| \end{align*}$ und $\begin{align*} \tan \varphi = \frac ba \end{align*}$ . Kennst Du, oder?

Zitat:

Original von Alex0204
Dann wäre $\begin{eqnarray*} 2*e^{i*b*\frac{\pi }{2} } = 2 \end{eqnarray*}$ ?

Du hast schon wieder die Betragsstriche vergessen: $\begin{align*} \left| 2 \cdot e^{i \cdot b \cdot \frac{\pi }{2} } \right|= 2 \end{align*}$

19.01.2016, 10:00

Alex0204

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RE: Komplexe Eulersche Zahl nicht nachvollziehbar mit Lösung
Oh je...die Betragsstriche kannte ich bisher nicht wirklich als kompliziertere mathematisch Operation bzw. Rechenschritt.
Also der Vorfaktor vor der Exponentialform ist mein Radius bzw. die Länge der Hypotenuse des Dreiecks aus Real- und Imaginärteil, steht dort nichts, ist es Länge 1, sprich Einheitskreis?

Was machen nun die Betragsstriche um die Polardarstellung mit der eulerschen Formel genau bzw. wo ist der Unterschied, wenn diese nicht vorhanden sind?

Vielen Dank für deine HIlfe

19.01.2016, 10:02

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Eulersche Zahl nicht nachvollziehbar mit Lösung
So ist es.

Viele Grüße
Steffen

19.01.2016, 10:03

Alex0204

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RE: Komplexe Eulersche Zahl nicht nachvollziehbar mit Lösung
Was machen nun die Betragsstriche um die Polardarstellung mit der eulerschen Formel genau bzw. wo ist der Unterschied, wenn diese nicht vorhanden sind?

19.01.2016, 10:12

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Eulersche Zahl nicht nachvollziehbar mit Lösung

Zitat:

Original von Alex0204
wo ist der Unterschied, wenn diese nicht vorhanden sind?

Dann ist es irgendeine komplexe Zahl, die zwar einen Betrag hat, aber eben auch einen Winkel, der nicht unbedingt Null ist. Der Zeiger zeigt also nicht unbedingt nach rechts!

Ein Betrag dagegen ist per definitionem eine positive reelle Zahl, hat also Winkel Null.

Umgekehrt heißt das: nur wenn der Winkel der komplexen Zahl Null (bzw. eine Vielfache von 2pi) ist, stimmen Zahl und deren Betrag überein.

19.01.2016, 10:29

Alex0204

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RE: Komplexe Eulersche Zahl nicht nachvollziehbar mit Lösung

Zitat:

Original von Steffen Bühler

Ein Betrag dagegen ist per definitionem eine positive reelle Zahl, hat also Winkel Null.

Jetzt hat es geschnackelt....deswegen ist es auch irrelevant, dass dort oben die Variable b vorhanden ist die als Element der reellen Zahlen definiert ist.

19.01.2016, 11:05

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Eulersche Zahl nicht nachvollziehbar mit Lösung

Zitat:

Original von Alex0204
deswegen ist es auch irrelevant, dass dort oben die Variable b vorhanden ist

Richtig. Umgekehrt kann man ohne Betragsstriche dann Aussagen über b treffen:

$\begin{align*} 2 \cdot e^{i \cdot b \cdot \frac{\pi }{2} }=2 \end{align*}$ gilt, wie gesagt, für b=0 oder solche b, die den Winkel zur Vielfachen von 2pi machen.

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