Flächenberechnung mit Hilfe des Integrals ober- und unterhalb der x-Achse

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Pirania Auf diesen Beitrag antworten »
Flächenberechnung mit Hilfe des Integrals ober- und unterhalb der x-Achse
Hallo. Kann mir das bitte einer erklären was im Titel steht? Ich hatte gerade schonmal einen Post gemacht unter mir ;-) Leider ist der mislungen und kann ihn nicht löschen. Wie gesagt: Stammfunktion bilden kann ich. Normale Fläche kann ich auch berechnen wo der Bereich vorgegeben ist aber wenn ich erst Nullstellen berechnen muss weiss ich nicht genau wie ich vorgehen muss. Es wäre total cool wenn mir das noch jemand erklären würde, weil ich morgen einen Test schreibe :-).
Pirania Auf diesen Beitrag antworten »

[attach]40505[/attach]

Darum gehts.
 
 
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Also sind die Nullstellen das Problem? Oder was genau?

Viele Grüße
Steffen
Pirania Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht wie ich anfangen soll und die Reihenfolge der Schritte. Kannst Du mir die Schritte aufschreiben?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Nehmen wir mal die Funktion x^3-x:



Wie berechnest Du die Nullstellen sonst? Die Funktion gleich Null setzen und nach x auflösen! Also auch hier.

Du bist dran.
Pirania Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe als Ergebnis raus

Ich meine wenn ich aufgeschrieben habe

Welcher schritt kommt dann?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ergebnis x/4 verstehe ich nicht.

Wie heißen die drei Nullstellen?
Pirania Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiss bei der Funktion nicht wie ich die Nullstellen berechne. Einfach auflösen dachte ich erst. Dann dachte ich x ausklammern. Aber weiss grad nicht wie ich das machen soll.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, x ausklammern ist hier richtig!



Wann wird dieses Produkt Null?
Pirania Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok. Ich wusste nicht, dass x zu 1 wird wenn ich x ausklammere. ok dann ist x1 schonmal die erste nullstelle. Also und dann





Also die 3 Nullstellen sind 0, 1 und -1. Das kann man ja auch auf dem Koordinatenkreuz sehen. In dem Test morgen muss ich das ohne machen.

Also nochmal dass ich das richtig verstenaden habe wenn ich die Funktion habe und den Bereich zum beispiel -1;1 fange ich mit der Berechnung der Nullstellen an oder? Das ist das erste was ich mache.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Perfekt, dann kannst Du es doch! Und der Rest ist Dir klar, sagst Du ja.
Pirania Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist ja das Problem. Das ist mir ja nicht klar Big Laugh .
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dann weiter. Berechne zuerst die Fläche links.

Wie lauten Grenzen und Stammfunktion?
Pirania Auf diesen Beitrag antworten »

Also das wäre dann die Fläche -1 bis 0 ne? Woher weiß ich welche werte ich nehmen muss. Wenn a und b angegeben ist weiss ich das ich die umgekehrt einsetzen muss. erst a und dann b. aber jetzt habe ich ja 3 werte. Woher weiss ich welchen Wert ich wo einsetzen muss?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pirania
1. Nullstellen berechnen
2. ?


Zweitens die rechte Nullstelle in die Stammfunktion einsetzen.

Drittens die linke Nullstelle in die Stammfunktion einsetzen.

Viertens diese beiden Zahlen subtrahieren und den Betrag bilden.
Pirania Auf diesen Beitrag antworten »

Stammfunktion
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pirania
jetzt habe ich ja 3 werte. Woher weiss ich welchen Wert ich wo einsetzen muss?


Ordne die Werte der Größe nach. Dann jedes der zwei Wertepaare als Integralgrenzen, wie oben.

Und wenn es vier oder noch mehr sind, genauso. Jedes Wertepaar begrenzt ja eine Teilfläche.
Pirania Auf diesen Beitrag antworten »

Viertens diese beiden Zahlen subtrahieren und den Betrag bilden. Das verstehe ich nicht.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Die Stammfunktion stimmt. Nun setz die beiden ersten Grenzen-1 und 0 ein. Welche zwei Zahlen ergibt das?
Pirania Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steffen Bühler
Zitat:
Original von Pirania
jetzt habe ich ja 3 werte. Woher weiss ich welchen Wert ich wo einsetzen muss?


Ordne die Werte der Größe nach. Dann jedes der zwei Wertepaare als Integralgrenzen, wie oben.

Und wenn es vier oder noch mehr sind, genauso. Jedes Wertepaar begrenzt ja eine Teilfläche.


Dann muss ich doch -1 und 0 berechnen und danach 0 und 1 oder? Für 2 Flächen.
Pirania Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steffen Bühler
Die Stammfunktion stimmt. Nun setz die beiden ersten Grenzen-1 und 0 ein. Welche zwei Zahlen ergibt das?


Muss ich erst -1 einsetzen oder erst 0?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pirania
Dann muss ich doch -1 und 0 berechnen und danach 0 und 1 oder? Für 2 Flächen.


Richtig.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pirania

Muss ich erst -1 einsetzen oder erst 0?


Egal, denn wir nehmen nachher den Betrag der Differenz. Da ist die Reihenfolge wurscht: |a-b|=|b-a|

Ansonsten immer zuerst die höhere Zahl.
Pirania Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe raus. Die Zahl ist ja negativ dann muss ich Betragsstriche setzen um die positiv zu machen oder?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, oder einfach das Minuszeichen wegradieren. Augenzwinkern

Die Fläche stimmt. Sie sollte vor der Betragsbildung allerdings positiv sein, wir sind ja über der x-Achse. Für die Arbeit morgen dann doch sicherheitshalber zuerst die höhere Zahl, auch wenn es fürs Ergebnis egal ist.

Nun auf zur rechten Fläche.
Pirania Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steffen Bühler
Ja, oder einfach das Minuszeichen wegradieren. Augenzwinkern

Die Fläche stimmt. Nun auf zur rechten.


Big Laugh Haha ja, genau.

Ok, dann müsste da rauskommen, weil die Rechnung davor mit 0 und -1 -1/4 ergab muss diese jetzt 1/4 sein. Richtig?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, betragsmäßig. Ansonsten siehe mein Edit: ohne Betrag ist die negativ.

Gut, noch die Flächen addieren, das war's.
Pirania Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Also ist das Ergebnis ?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Ich glaube, das Prinzip hast Du jetzt intus.

Viel Erfolg morgen und viele Grüße
Steffen
Pirania Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Echt ein dickes DANKE :-) Hast mir echt geholfen. Aber eins ist mir nicht so ganz klar. Wenn ich zB Nullstellen 3, 0 und 6 habe und die Flächen berechnen möchte muss ich ja immer [attach]40511[/attach] schreiben. Woher welche ich welche Zahl ich oben und welche unten hinschreibe?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Du berechnest immer die Integrale von einer Nullstelle zur nächst gelegenen größeren Nullstelle. Anschließend addierst du die Beträge der einzelnen Ergebnisse. Das ergibt dann die gesuchte Fläche. smile
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pirania
Woher welche ich welche Zahl ich oben und welche unten hinschreibe?


Grundsätzlich immer von links nach rechts. Die kleinere Zahl also unten, die größere oben.
Pirania Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, Danke. Hab's verstanden :-)

Irgendwas stimmt bei der Rechung nicht. Kann mir bitte jemand sagen was an der Rechnung falsch ist? Betragsstriche habe ich vergessen. Also nicht wundern wenn das Ergebnis positiver angegeben ist.

[attach]40557[/attach]
moody_ds Auf diesen Beitrag antworten »

Auf der Vor Seite steht das Integral von 0 bis 3.
Du sagst die Nullstellen sind 0,3,6 was aber nicht zu der Funktion gehört.
Und berechnen tust du von 1 bis 3, ich glaube da irgendwo liegt dein Fehler.
Pirania Auf diesen Beitrag antworten »

Hi. Danke für Deine Antwort. Aber es geht jetzt nur um diese Fläche. Die hat nichts mit dem vorherigem zutun. Das ist eine andere Aufgabe.
moody_ds Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Stammfunktion ist falsch. 1 nach x integriert ist x (+C aber du integrierst ja bestimmt)
Pirania Auf diesen Beitrag antworten »

Warum ist die falsch? Ich sehe gerade dass es sind und nicht .
moody_ds Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast



und daraus



gemacht.

Aber mit deiner Funktion. Das stimmt ja nicht.

moody_ds Auf diesen Beitrag antworten »

Mit ein bisschen Phantasie ist das auch ein x und keine 1. Mit den 54/6 solltest du dann auf das richtige Ergbnis kommen Wink
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