Grenzwert eines Bruchs von Produkten mit einer Konstante

19.01.2016, 08:41	gambaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert eines Bruchs von Produkten mit einer Konstante Hallo, angenommen ich habe folgendes: $\begin{eqnarray} \frac{\prod\limits_{2^{l-2}}^{2 \cdot 2^{l-2} + c} i}{\prod\limits_{3 \cdot 2^{l-2}}^{4 \cdot 2^{l-2}} i} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ ist eine beliebige positive Konstante. Die Anzahl der Faktoren der Produkte ist $\begin{eqnarray} 2^{l-2} + 1 + c \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} 2^{l-2} + 1 \end{eqnarray}$ . Ist es zulässig zu argumentieren, dass der Grenzwert für $\begin{eqnarray} l \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ gleich $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ ist, da die Anzahl der Faktoren beider Produkte nicht wesentlich schneller wächst als $\begin{eqnarray} \mathcal{O}(2^{l-2}) \end{eqnarray}$ ? Sprich: $\begin{eqnarray} 2^{l-2} + 1 + c \in \mathcal{O}(2^{l-2}) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} 2^{l-2} + 1 \in \mathcal{O}(2^{l-2}) \end{eqnarray}$ . PS: Ich war mir nicht ganz sicher ob das Thema unter Kombinatorik gut aufgehoben ist, da die Produkte aber von der Fakultätsfunktion abgeleitet sind, habe ich es hier gepostet.
19.01.2016, 09:06	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe deine Argumentation nicht: Wenn auch nicht viel, so hast du doch mehr Faktoren im Zähler als im Nenner. Ohne genaueren Blick auf die Größe der Faktoren selbst ist es dann doch wohl kaum akzeptabel zu sagen, dass der Gesamtterm gegen Null konvergiert (was ich übrigens gar nicht bestreite).
19.01.2016, 09:32	gambaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe einfach mal vorausgesetzt, dass die Faktoren im Zähler für $\begin{eqnarray} l \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ alle kleiner sind als im Nenner. Wenn ich dann die vorher schon erwähnte Argumentation hinzunehme ist eben die Frage, ob das ausreicht? Falls nicht, werde ich mir nochmal Gedanken machen müssen.
19.01.2016, 09:35	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Kleiner allein reicht nicht, du brauchst eine überzeugende Abschätzung.
19.01.2016, 09:36	gambaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, vielen Dank!
19.01.2016, 09:45	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur als warnendes Beispiel: Auch bei $\begin{align} \frac{\displaystyle \prod_{i=2^{l-2}}^{2 \cdot 2^{l-2}+c} i}{\displaystyle \prod_{i=2^{l-2}+c+1}^{2 \cdot 2^{l-2}+c+1} i} \end{align}$ haben wir ebenso wie bei dir $\begin{align} 2^{l-2}+c+1 \end{align}$ Faktoren im Zähler und $\begin{align} 2^{l-2}+1 \end{align}$ Faktoren im Nenner, und jedem Faktor im Zähler lässt sich ein größerer Faktor im Nenner zuordnen. Und wie verhält sich der Quotient für $\begin{align} l\to\infty \end{align}$ ? Er divergiert gegen $\begin{align} \infty \end{align}$ .
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19.01.2016, 11:00	gambaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein gutes Beispiel! Jetzt bleibt für mich zu klären, wie die Grenzen der Produkte im Allgemeinen beschaffen sein müssen (bei gleicher Faktoranzahl), damit der Bruch gegen $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ konvergiert bzw. wie die Faktoren in Abhängigkeit von den Grenzen genau aussehen.
19.01.2016, 11:06	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, du solltest deinen Anspruch vielleicht nicht gleich so hoch hängen, da gleich für alle möglichen solchen Quotienten eine Aussage zu treffen. Bleiben wir doch mal konkret bei deinem Beispiel, da kann man doch ziemlich einfach abschätzen: Um etwas Schreibarbeit zu sparen, kürze ich $\begin{align} m:=2^{l-2} \end{align}$ ab, dann gilt $\begin{align} \frac{\displaystyle \prod_{i=m}^{2m} i}{\displaystyle\prod_{i=3m}^{4m} i} = \prod_{k=0}^m \frac{k+m}{k+3m} \leq \prod_{k=0}^m \frac{1}{2} = \frac{1}{2^{m+1}} \end{align}$ Im Zähler fehlt dann nur noch $\begin{align} \prod_{i=2m+1}^{2m+c} i \leq (2m+c)^c \end{align}$ . Dein Gesamtterm kann also nach oben abgeschätzt werden durch $\begin{align} \frac{(2m+c)^c}{2^{m+1}} \end{align}$ . Dass das bei festem $\begin{align} c \end{align}$ für $\begin{align} m\to\infty \end{align}$ (was ja aus $\begin{align} l\to \infty \end{align}$ folgt) gegen 0 konvergiert, ist offensichtlich (falls nicht, kann es auch noch bewiesen werden) - Potenzfunktion (im Zähler) wächst langsamer als Exponentialfunktion (im Nenner).

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