Lesen einer Formel (Matrixrechnung, Informatik)

19.01.2016, 11:34

nac

Lesen einer Formel (Matrixrechnung, Informatik)

Meine Frage:
Hallo, ich implementiere gerade eine soft-body Simulation nach diesem Paper von Müller et al.?. Dort stoße ich auf die Formel (7):

$\begin{eqnarray*} A = A_{pq} A_{qq} = \left( \sum_i m_i p_i q_i^T \right) \left( \sum_i m_i q_i q_i^T \right)^{-1} \end{eqnarray*}$

wobei die p_i und q_i Vektoren bezeichnen, die m_i Skalare.

A sollte nun eine Matrix ergeben - meiner Leseweise nach ist aber A ein Produkt aus Summen über Skalarprodukte, also ein Skalar. Im weiteren Verlauf wird davon ausgegangen, dass A eine Matrix ist (bzw. wir nur der erste Faktor, die Matrix $\begin{eqnarray*} A_{pq} \end{eqnarray*}$ weiterhin benötigt).

Lese ich die Formel falsch? Übersehe ich einen mathematischen Schritt?

Meine Ideen:
Ich habe versucht, eine Matrixmultiplikation zu erzwingen, indem ich die N-Vektoren p_i und q_i jeweils zu NxN Matrizen mit p und q als erste Zeile/Spalte ergänzt habe, allerdings verhalten sich die Ergebnisse unphysikalisch und unlogisch...

19.01.2016, 11:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von nac
Lese ich die Formel falsch?

Das tust du, ja:

Wenn $\begin{align*} p_i,q_i \end{align*}$ Spaltenvektoren sind (wie es i.d.R. üblich ist), dann kann man die als $\begin{align*} n\times 1 \end{align*}$ -Matrizen auffassen. Dann ist $\begin{align*} q_i^T \end{align*}$ als Zeilenvektor eine $\begin{align*} 1\times n \end{align*}$ -Matrix, und das Matrizenprodukt $\begin{align*} p_iq_i^T \end{align*}$ eine $\begin{align*} n\times n \end{align*}$ -Matrix.

Du hast das vermutlich mit dem Skalarprodukt (= $\begin{align*} 1\times 1 \end{align*}$ -Matrix) $\begin{align*} p_i^Tq_i \end{align*}$ verwechselt.

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