Ein DGL-System in Blockform überführen

19.01.2016, 13:20

blockdiagonalform

Ein DGL-System in Blockform überführen

Meine Frage:
Moin, ich habe da mal eine Frage, ob ich richtig vorgegangen bin.

Gegeben ist ein 3d-DGL-System:

$\begin{eqnarray*} \dot{x}=y,\quad\dot{y}=z,\quad\dot{z}=-x-y-z+x^2+az^3. \end{eqnarray*}$ .
Man soll eine lineare Koordinatentransformation durchführen so, dass der lineare Teil (bzgl. des Ruhepunkts (0,0,0)) des Systems in Blockgestalt vorliegt.

Meine Ideen:
Idee:

(1.) Linearisierungsmatrix an (0,0,0) lautet
$\begin{eqnarray*} M=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\-1 & -1 & -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Eigenwerte von M sind $\begin{eqnarray*} \lambda_1=-1, \lambda_{2,3}=\pm i \end{eqnarray*}$

Gesuchte Blockgestalt von M ist
$\begin{eqnarray*} J=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & -1 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(2.) Transformationsmatrix
$\begin{eqnarray*} S=\begin{pmatrix}1 & -1 & 0\\-1 & 0 & -1\\1 & 1 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
tut's, d.h. $\begin{eqnarray*} S^{-1}MS=J \end{eqnarray*}$

Ziel ist also:

Transformiere
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\dot{x}\\\dot{y}\\\dot{z}\end{pmatrix}=M\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\x^2+az^3\end{pmatrix}~~~(1) \end{eqnarray*}$

in die Form
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\dot{u}\\\dot{v}\\\dot{w}\end{pmatrix}=J\cdot\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}f(u,v,w)\\g(u,v,w)\\h(u,v,w)\end{pmatrix}~~~(2) \end{eqnarray*}$

Noch fehlender Schritt:
Wie komme ich von System (1) zu System (2)?

Muss ich einfach
$\begin{eqnarray*} S^{-1}MS \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}+S^{-1}\begin{pmatrix}0\\0\\x^2+az^3\end{pmatrix}S \end{eqnarray*}$
ausrechnen?

Hab das gemacht, liefert mir
$\begin{eqnarray*} J\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\frac{1}{2}(x^2+az^3)\\\frac{1}{2}(x^2+az^3)\\-\frac{1}{2}(x^2+az^3)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das gesuchte System also einfach
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\dot{u}\\\dot{v}\\\dot{w}\end{pmatrix}=J\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\frac{1}{2}(u^2+aw^3)\\\frac{1}{2}(u^2+aw^3)\\-\frac{1}{2}(u^2+aw^3)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

19.01.2016, 13:46

HAL 9000

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Zitat:

Original von blockdiagonalform
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\dot{x}\\\dot{y}\\\dot{z}\end{pmatrix}=M\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\x^2+az^3\end{pmatrix}~~~(1) \end{eqnarray*}$

Du multiplizierst einfach von links $\begin{align*} S^{-1} \end{align*}$ dran, dann steht da:

$\begin{align*} S^{-1} \begin{pmatrix}\dot{x}\\\dot{y}\\\dot{z}\end{pmatrix} = S^{-1}MS\cdot S^{-1}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}+S^{-1}\begin{pmatrix}0\\0\\x^2+az^3\end{pmatrix} \end{align*}$

Mit $\begin{align*} \begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix} := S^{-1}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \end{align*}$ wird daraus $\begin{align*} \begin{pmatrix}\dot{u}\\\dot{v}\\\dot{w}\end{pmatrix} = J\cdot\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix} + S^{-1}\begin{pmatrix}0\\0\\x^2+az^3\end{pmatrix} \end{align*}$ .

Zitat:

Original von blockdiagonalform
Hab das gemacht, liefert mir
$\begin{eqnarray*} J\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\frac{1}{2}(x^2+az^3)\\\frac{1}{2}(x^2+az^3)\\-\frac{1}{2}(x^2+az^3)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Falls du $\begin{align*} J\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\frac{1}{2}(x^2+az^3)\\\frac{1}{2}(x^2+az^3)\\-\frac{1}{2}(x^2+az^3)\end{pmatrix} \end{align*}$ meinst, das hab ich auch.

Zitat:

Original von blockdiagonalform
Ist das gesuchte System also einfach
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\dot{u}\\\dot{v}\\\dot{w}\end{pmatrix}=J\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\frac{1}{2}(u^2+aw^3)\\\frac{1}{2}(u^2+aw^3)\\-\frac{1}{2}(u^2+aw^3)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Nein, es ist ja nicht $\begin{align*} \begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \end{align*}$ , sondern wie ich geschrieben habe $\begin{align*} \begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix} = S^{-1}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \end{align*}$ , umgestellt $\begin{align*} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = S\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix} \end{align*}$ .

19.01.2016, 14:01

blockdiagonalform

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Danke,

eine Sache ist mir noch unklar.

Es ist $\begin{eqnarray*} S^{-1}\begin{pmatrix}0\\0\\x^2+az^3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}(x^2+az^3)\\\frac{1}{2}(x^2+az^3)\\-\frac{1}{2}(x^2+az^3)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

D.h. in dem letztendlichen System für $\begin{eqnarray*} \dot{u},\dot{v},\dot{w} \end{eqnarray*}$ tauchen noch x, y und z auf. Wie wird man diese los? Am Ende möchte man ja nur noch u, v, und w haben.

19.01.2016, 14:08

HAL 9000

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Ich hatte noch was editiert, hast du vermutlich noch nicht gelesen.

19.01.2016, 14:16

blockdiagonalform

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Ah, ich kann also ausrechnen, dass x=u-v, y=-u-w, z=u+v.

Demnach müsste ich den letzten Summanden dann wie folgt ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} S^{-1}\begin{pmatrix}0\\0\\(u-v)^2+a(u+v)^3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Das habe ich gemacht und wenn ich richtig liege, müsste man somit am Ende das System

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\dot{u}\\\dot{v}\\\dot{w}\end{pmatrix}=J\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\frac{1}{2}(au^3+u^2(3av+1)+uv(3av-2)+v^2(av+1)\\\frac{1}{2}(au^3+u^2(3av+1)+uv(3av-2)+v^2(av+1)\\-\frac{1}{2}(au^3+u^2(3av+1)+uv(3av-2)+v^2(av+1)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun kann man wahrscheinlich noch nicht-resonante Terme wegtransformieren...

19.01.2016, 14:25

HAL 9000

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Ich weiß nicht, ob und warum man die Terme $\begin{align*} \frac{1}{2}\left( (u-v)^2 + a(u+v)^3\right) \end{align*}$ noch ausmultiplizieren muss, aber so stimmt es jedenfalls. Genausowenig weiß ich, wie günstig weiter zu verfahren ist, da ich mit derlei nichtlinearen mehrdimensionalen DGL-Systemen nahezu Null Erfahrung habe. Wink

19.01.2016, 14:26

blockdiagonalform

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Ich denke, das verlangt diese Aufgabe auch gar nicht.

Ich danke dir für die Hilfe! Wink

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