Drehmatrizen Gruppe

19.01.2016, 14:37

yellowman

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Drehmatrizen Gruppe

Hallo, ich habe die Aufgabe:

Drehungen im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ können durch spezielle orthogonale Matrizen dargetellt werden für die gilt $\begin{eqnarray*} detD=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D^t=D^{-1} \end{eqnarray*}$
Zeige dass die speziellen orthogonalen Matrizen eine Gruppe bilden.

Meine Ideen:

1) Um zu zeigen das es eine Gruppe bildet muss für zwei Drehmatrizen $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D' \end{eqnarray*}$ das Produkt wieder eine Drehmatrix sein
2) Es muss ein neutrales Element exisiterien mit $\begin{eqnarray*} ED=DE=D \end{eqnarray*}$
3) Es existiert ein inverses Element $\begin{eqnarray*} D^{-1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} D^{-1}D=DD^{-1}=E \end{eqnarray*}$

Für die Drehmatrizen im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} R_x=\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & \cos\phi & -\sin\phi \\ 0 & \sin\phi & \cos\phi \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} R_y=\begin{pmatrix} \cos\phi & 0 & -\sin\phi \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\phi & 0 & \cos\phi \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} R_z=\begin{pmatrix} \cos\phi & -\sin\phi & 0 \\ \sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Soll für 1),2) und 3) jede Kombination der Drehmatrizen einmal durchgespielt werden oder macht man das hier anders?

Das heißt man müsste bei 1) $\begin{eqnarray*} R_x\cdot R_y \end{eqnarray*}$ wie auch $\begin{eqnarray*} R_y\cdot R_x \end{eqnarray*}$ usw. durchrechnen?

Vielen Dank!

19.01.2016, 17:21

yellowman

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Hat niemand eine Idee?

19.01.2016, 18:02

IfindU

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Die Menge der Drehungen ist gegeben durch die Menge
$\begin{eqnarray*} SO(3) = \{ D \in \mathbb R^{3 \times 3} : D^t = D^{-1}, \det D = 1\} \end{eqnarray*}$ .

Damit kann man ganz abstrakt durchrechnen, dass es eine Gruppe ist.

Was du angegeben hast sind die Rotationen um die x, y bzw. z-Achse. Was machst du, wenn du plötzlich um etwas andrehes drehst? (Irgendeine Gerade z.B.)

19.01.2016, 19:28

yellowman

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Hallo IfindU,

ok, wenn man z.B. um eine Gerade dreht hätte man eine Schraubung. Deshalb muss man wie du meintest abstrakt über die Definition der Drehgruppe gehen. Was mich noch etwas stört ist der Fakt das man eigentlich zwischen eigentlicher und uneigentlicher Bewegung unterscheidet. Bei der eigentlichen Bewegung gilt ebenfalls $\begin{eqnarray*} det D=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ist Orthogonalmatrix. Zu der eigentlichen Bewegung gehört dann die Translation, Rotation und die Schraubung wobei die Rotation im Gegensatz zu den zwei anderen Bewegungsformen eine Fixgerade besitzt. Warum sagt man das dies nur für die Rotation gilt wenn es auch für eine Translation und einer Schraubung als Translation+Drehung gilt?

Erstmal vorab, eine Gruppe setzt sich aus einer Menge und einer Verknüpfung zusammen. Die Menge wäre in dem Fall $\begin{eqnarray*} SO(3) \end{eqnarray*}$ und die Verknüpfung die Matrixmultiplikation. Sehe ich das richtig?

1) Hier muss die Assoziativität gezeigt werden wobei D und D' Drehmatrizen sind. Konkret also:

$\begin{eqnarray*} D^t\cdot D'^t=D'^t\cdot D^t \end{eqnarray*}$

Ich denke hier muss man anwenden das $\begin{eqnarray*} A^tB^t=(AB)^t \end{eqnarray*}$ gilt?!

Wie mache ich denn weiter?

Vielen Dank!!!

19.01.2016, 19:41

IfindU

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Das was du "zeigen" willst, ist nicht die Assoziativiaet, sondern die Kommutativitaet.

Und richtig, man braucht natuerlich eine Verknüpfung -- diese hier ist die Multiplikation der Matrizen (hintereinander Ausführungen von Drehungen). Wenn man sich mit so speziellen Gruppen beschaeftigt, wird man wohl davon ausgehen koennen, dass die Multiplikation von Matrizen gewisse Eigenschaften haben -- wie die Assoziativaet. Sonst muss man hier ueber die Definition der Matrixmultiplikation das auch noch zeigen.

Was man sogar ziemlich sicher voraussetzen darf, ist dass $\begin{eqnarray*} GL_3 = \{ X \in \mathbb R^{3 \times 3} | X \text{ ist invertierbar} \} \end{eqnarray*}$ eine Gruppe bildet (ebenfalls mit der Multiplikation). Offenbar ist $\begin{eqnarray*} SO(3) \subset GL_3 \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge also reicht es nachzupruefen, dass es eine Untergruppe der invertierbaren Matrizen ist. Das sind genau die 3 Eigenschaften, die du zu Beginn genannt hattest, deswegen dachte ich du willst so an die Sache rangehen.

Und es gilt NICHT $\begin{eqnarray*} (AB)^T = A^T B^T \end{eqnarray*}$ . Was gilt ist $\begin{eqnarray*} (AB)^T = B^T A^T \end{eqnarray*}$ !

19.01.2016, 19:59

yellowman

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Ich habe jetzt nochmal nachgelesen was mit $\begin{eqnarray*} GL_3 \end{eqnarray*}$ gemeint ist und bei Wikipedia wird ebenfalls die Gruppe der orthogonalen Matrizen als Untergruppe genannt. Das heißt wenn man annimmt das $\begin{eqnarray*} GL_3 \end{eqnarray*}$ eine Gruppe ist dann muss nur noch gezeigt werden das die Gruppe der orthogonalen Matrizen eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} GL_3 \end{eqnarray*}$ ist.

Um zu zeigen das es sich um eine Untergruppe handelt muss man doch eigentlich zeigen das:

- Menge nichtleer
- Abgeschlossenheit bezüglich Matrixmultiplikation
- Die Inverse ist wieder in der Untergruppe enthalten.

1) und 3) stimmen damit ja überein allerdings das inverse Element 2) taucht bei der Definition einer Gruppe nicht auf oder sind das Äquivalente Definitionen? Ich habe die Nummerierung aus meinen Vorlesungsunterlagen entnommen und die Definition der Untergruppe bei Wikipedia nachgeschlagen

Falls dem so ist würde ich mich erstmal mit der GL Gruppe vertraut machen und mich anschließend die Tage nochmal melden.

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19.01.2016, 20:17

IfindU

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Also du musst nicht zeigen, dass die Gruppe der orthognalen Matrizen eine Untergruppe ist, sondern die speziellen orthogonalen aka die Drehungen. Auch wenn es im Beweis keinen Unterschied macht.

Und so wie die Aufgabe gestellt ist, koennte man schon fast meinen man darf annehmen, dass orthogonale Gruppe nicht zur puren Irritiation von Erstsemestern Gruppe heisst, sondern wirklich eine Gruppenstruktur besitzt.
Aber da benoetigt man mehr Kontext was in der Vorlesung gemacht wurde.

Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation ist in den meisten Gruppendefinitionen sehr subtil drin. So steht dort etwas wie $\begin{eqnarray*} * : G \times G \to G \end{eqnarray*}$ erfuelle folgende Eigenschaften: (Assoziativitaet, neutrales Element und Inverse).

Dass dort $\begin{eqnarray*} G \times G \to G \end{eqnarray*}$ genannt wird, ist die Abgeschlossenheit. Wuerde man $\begin{eqnarray*} G \times G \to G' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} G \subset G' \end{eqnarray*}$ schreiben, so muesste man explizit noch fordern, dass es abgeschlossen bzgl. der Multiplikation ist. So hat man es platzsparend dort untergebracht.

19.01.2016, 20:34

yellowman

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"Also du musst nicht zeigen, dass die Gruppe der orthognalen Matrizen eine Untergruppe ist, sondern die speziellen orthogonalen aka die Drehungen. Auch wenn es im Beweis keinen Unterschied macht."

Ja also das die orthogonalen Matrizen eine Untergruppe von GL ist.

Also sind das äquivalente Definitionen wobei man zeigen muss das gilt:

$\begin{eqnarray*} D^t,D'^t \in SO(3) \Rightarrow D^t\cdot D'^t \in SO(3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D^t \in SO(3) \Rightarrow D^{-1} \in SO(3) \end{eqnarray*}$

Dann enthält $\begin{eqnarray*} SO(3) \end{eqnarray*}$ auch ein neutrales Element in dem Fall die Einheitsmatrix.

So wäre das richtig?

Danke!!!

19.01.2016, 21:06

IfindU

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Es fehlt das nachpruefen, dass die Menge nicht-leer ist -- sonst kannst du (natuerlich nicht) sagen, dass das neutrale drin ist. Die leere Menge erfuellt naemlich ebenfalls die ersten beiden Bedingungen. Aber ansonsten sieht es gut aus.

Ich bin mir gerade bloss nicht sicher, ob dir klar ist, dass ich "speziell" als mathematisches Fachwort benutze und nicht als ersatz fuer eine floskel wie "besonders", "toll" oder "eigenartig". Das $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} SO \end{eqnarray*}$ steht naemlich dafuer, das O natuerlich fuer orthogonal. (Modulo alles erst einmal ins englische uebersetzen, weil dort auch GL und SL fuer etwas "sinnvolles" stehen).

22.01.2016, 17:41

yellowman

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Hallo IfindU, ich habe mich nun an den Beweis gesetzt.

2) Es muss ein neutrales Element exisiterien mit $\begin{eqnarray*} ED=DE=D \end{eqnarray*}$

Sei das neutrale Element $\begin{eqnarray*} I_3 \end{eqnarray*}$ . Es gilt offensichtlich $\begin{eqnarray*} detI_3=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} I_3^t\cdot I_3=I_3 \end{eqnarray*}$ .

3) Es existiert ein inverses Element $\begin{eqnarray*} D^{-1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} D^{-1}D=DD^{-1}=E \end{eqnarray*}$

Es gilt $\begin{eqnarray*} D^t\cdot D=D^{-1}\cdot D=I_3 \end{eqnarray*}$ und da $\begin{eqnarray*} I_3\in SO(3) \end{eqnarray*}$ muss ein inverses Element $\begin{eqnarray*} D^{-1} \end{eqnarray*}$ existieren.

1) Um zu zeigen das es eine Gruppe bildet muss für zwei Drehmatrizen $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D' \end{eqnarray*}$ das Produkt wieder eine Drehmatrix sein.

Es gilt $\begin{eqnarray*} (D\cdot D')\cdot (D\cdot D')^{-1}=(D\cdot I_3\cdot D^{-1}=I_3 \end{eqnarray*}$ Das heißt $\begin{eqnarray*} D\cdot D' \end{eqnarray*}$ ist invertierbar und damit gilt $\begin{eqnarray*} D,D'\in SO(3) \end{eqnarray*}$ .

Kann ich das so begründen?

Falls du das absegnest würde ich gerne den weiteren Aufgabenteil besprechen.

Viele Grüße

22.01.2016, 19:51

IfindU

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2) Stimmt so.

3) Die pure Existenz von $\begin{eqnarray*} D^{-1} \end{eqnarray*}$ reicht nicht, du brauchst $\begin{eqnarray*} D^{-1} \in SO(3) \end{eqnarray*}$ . D.h. die richtige Determinante und $\begin{eqnarray*} (D^{-1})^T = (D^{-1})^{-1} \end{eqnarray*}$ .

1) $\begin{eqnarray*} A A^{-1} = 1 \end{eqnarray*}$ stimmt nach Definition. Du musst zeigen, dass für $\begin{eqnarray*} M = DD' \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} M \in SO(3) \end{eqnarray*}$ d,h. $\begin{eqnarray*} M^T = (D \cdot D')^T \stackrel{?}= (D \cdot D')^{-1} = M^{-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \det (M)= \det ( D D' ) \stackrel?= 1 \end{eqnarray*}$ .

22.01.2016, 20:17

yellowman

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Ok, also:

Zitat:

"3) Die pure Existenz von $\begin{eqnarray*} D^{-1} \end{eqnarray*}$ reicht nicht, du brauchst $\begin{eqnarray*} D^{-1} \in SO(3) \end{eqnarray*}$ . D.h. die richtige Determinante und $\begin{eqnarray*} (D^{-1})^T = (D^{-1})^{-1} \end{eqnarray*}$ ."

Es gilt $\begin{eqnarray*} det (D^t\cdot D)=det D^t\cdot det D=1\cdot 1=1 \end{eqnarray*}$

Warum muss das gezeigt werden also auf diesen weg? $\begin{eqnarray*} (D^{-1})^T = (D^{-1})^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

1) $\begin{eqnarray*} A A^{-1} = 1 \end{eqnarray*}$ stimmt nach Definition. Du musst zeigen, dass für $\begin{eqnarray*} M = DD' \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} M \in SO(3) \end{eqnarray*}$ d,h. $\begin{eqnarray*} M^T = (D \cdot D')^T \stackrel{?}= (D \cdot D')^{-1} = M^{-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \det (M)= \det ( D D' ) \stackrel?= 1 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} M^T=D^t\cdot D't=D^{-1}D'^{-1}=(D\cdot D')^{-1}=M^{-1} \end{eqnarray*}$

Für die Determinante gilt:

$\begin{eqnarray*} det(M)=det(D\cdot D')=detD\cdot detD'=1\cdot 1=1 \end{eqnarray*}$

22.01.2016, 20:27

IfindU

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Weil

Zitat:

Original von yellowman
3) Es existiert ein inverses Element $\begin{eqnarray*} D^{-1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} D^{-1}D=DD^{-1}=E \end{eqnarray*}$

vollständig heißen sollte

Zitat:

3) Es existiert ein inverses Element $\begin{eqnarray*} D^{-1}\in SO(3) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} D^{-1}D=DD^{-1}=E \end{eqnarray*}$ .

Wir wissen bereits, dass $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ invertierbar ist (Determinante ist 1, insbesondere nicht 0). Damit existiert eine inverse Matrix, die irgendwo liegt. Ganz allgemein kann man zeigen, dass das Inverse invertierbar ist, und es wieder $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ist. Damit haben wir die erste Eigenschaft von $\begin{eqnarray*} D^{-1} \end{eqnarray*}$ , nämlich $\begin{eqnarray*} D^{-1} \in GL(3) \end{eqnarray*}$ . Und wir wollen zeigen, dass $\begin{eqnarray*} SO(3) \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} GL_3 \end{eqnarray*}$ ist -- das Inverse liegt also schon in $\begin{eqnarray*} GL_3 \end{eqnarray*}$ , und das kritische für das Unterraumkriterium ist eben, dass das Inverse sogar wieder in $\begin{eqnarray*} SO(3) \end{eqnarray*}$ liegt. Ansonsten kann $\begin{eqnarray*} SO(3) \end{eqnarray*}$ keine (Unter)gruppe sein.

Zu

Zitat:

$\begin{eqnarray*} M^T=D^t\cdot D't=D^{-1}D'^{-1}=(D\cdot D')^{-1}=M^{-1} \end{eqnarray*}$

dachte ich wir hätten uns drauf geeinigt, dass es so nicht gilt:

Zitat:

Und es gilt NICHT $\begin{eqnarray*} (AB)^T = A^T B^T \end{eqnarray*}$ . Was gilt ist $\begin{eqnarray*} (AB)^T = B^T A^T \end{eqnarray*}$ !

Ferner hast du im vorigen Beweis korrekt $\begin{eqnarray*} (DD')^{-1} = D'^{-1} D^{-1} \end{eqnarray*}$ benutzt.

22.01.2016, 21:33

yellowman

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2) $\begin{eqnarray*} M^t=D^tD'^t=D^{-1}D'^{-1}=(D'\cdot D)^{-1} \end{eqnarray*}$ und hier weiß ich nicht weiter....

3) Es existiert ein inverses Element $\begin{eqnarray*} D^{-1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} D^{-1}D=DD^{-1}=E \end{eqnarray*}$

Ok, da $\begin{eqnarray*} detD\neq 0 \end{eqnarray*}$ folgt darauß das $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ invertierbar ist also eine Matrix $\begin{eqnarray*} D^{-1} \end{eqnarray*}$ existiert. Damit muss ein inverses Element bereits in der Gruppe liegen und damit ist der Beweis für 3) erbracht?

22.01.2016, 22:04

IfindU

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2) Du hast schon wieder $\begin{eqnarray*} M^t = (D D')^t = D^t D'^t \end{eqnarray*}$ benutzt...

3) Warum muss es denn wieder in der Gruppe liegen? Du musst doch 2 Eigenschaften prüfen. So ist $\begin{eqnarray*} \det (D^{-1}) = \frac 1 { \det D } = 1 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \det D = 1 \end{eqnarray*}$ . Jetzt musst du noch nachprüfen, dass aus $\begin{eqnarray*} D^t = D^{-1} \end{eqnarray*}$ folgt, dass für $\begin{eqnarray*} X = D^{-1} \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} X^t = X^{-1} \end{eqnarray*}$ gilt, d.h. $\begin{eqnarray*} (D^{-1})^t = (D^{-1})^{-1} \end{eqnarray*}$ .

22.01.2016, 22:55

yellowman

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Ok, nochmal:

2)

$\begin{eqnarray*} M^t=(DD')^t=D'^tD^t=D'^{-1}D^{-1}=(DD')^{-1}=M^{-1} \end{eqnarray*}$

Passt das jetzt?

"3) Warum muss es denn wieder in der Gruppe liegen?"
Ich dachte wenn $\begin{eqnarray*} detD\neq 0 \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ invertierbar. Damit $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ allerdings eine inverse besitzt muss diese auch in der Menge sein sonst besitzt $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ja keine inverse?

$\begin{eqnarray*} (D^{-1})^t=(D^t)^t=D \end{eqnarray*}$ für rechte die Seite ist doch $\begin{eqnarray*} (D^{-1})^{-1}=D \end{eqnarray*}$ und damit sind beide Seiten gleich?

22.01.2016, 23:01

IfindU

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2) Passt nun.

3) Beachte man folgende Menge $\begin{eqnarray*} X:= \{ D \in GL_3| D_{11} > 1 \} \end{eqnarray*}$ , also die invertierbaren Matrizen, deren erster Eintrag echt größer als 1 ist. Dann besitzt jedes $\begin{eqnarray*} D \in X \end{eqnarray*}$ ein Inverses $\begin{eqnarray*} D^{-1} \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} D^{-1} \in GL_3 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} GL_3 \end{eqnarray*}$ eine Gruppe ist. Aber $\begin{eqnarray*} D:=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \in X \end{eqnarray*}$ , während $\begin{eqnarray*} D^{-1}= \begin{pmatrix} \frac 1 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \not\in X \end{eqnarray*}$ .

Hoffe es ist klar, dass $\begin{eqnarray*} D^{-1} \in SO(3) \end{eqnarray*}$ somit gezeigt werden muss, weil es a priori wie oben aussehen könnte. Aber der Beweis davon stimmt nun auch.

22.01.2016, 23:32

yellowman

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Ok, danke soweit. Den Beweis zu 3) muss ich mir nochmal in Ruhe anschauen.

b) Zeige,dass für reelle orthogonale Matrizen nur $\begin{eqnarray*} detD=\pm 1 \end{eqnarray*}$ gelten kann. Demnach gibt es neben den Drehmatrizen noch orthogonale Matrizen mit $\begin{eqnarray*} det D=-1 \end{eqnarray*}$ .

c) Zeige, dass Drehspiegelungen keine Gruppe bilden

Zu der b) fehlt mir noch der Ansatz und für c) müsste lediglich ein Gegenbeispiel ausreichen für eine Drehspiegelung wobei $\begin{eqnarray*} detD=-1 \end{eqnarray*}$ gilt allerdings ein Gruppenaxiom verletzt?

Eine Drehspiegelung hat die Form
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\varphi& -\sin\varphi\\ 0 & \sin\varphi& \cos\varphi \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das eine Spiegelung an der x-Achse oder gibt es dort keine Unterscheidungen wie bei den Rotationsmatrizen?

22.01.2016, 23:45

IfindU

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Dein Beweis zu 3) stimmt, ich habe bloss lange versucht zu begruenden, warum 3) nicht daraus folgt, dass ein Inverses existiert.

b) Orthogonale Matrizen werden durch die Gleichung $\begin{eqnarray*} D^t = D^{-1} \end{eqnarray*}$ charakterisiert. Nimm auf beiden Seiten die Determinante und stelle um.

c) Hier reicht es ja, das du eine angibst. Und Drehspiegelungen erfuellen gerade mal eins der 3 Unterraumaxiome. Um Abgeschlossenheit zu verletzen, reicht es zwei Drehspiegelungen zu finden, deren Produkt keine mehr ist. Hier ist es viel schlimmer: Es gibt nicht einmal 2 Drehspiegelungen, deren Produkt eine Drehspiegelung ist. D.h es gibt nicht nur viele Gegenbeispiele, es gibt nichts anderes Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.01.2016, 10:50

yellowman

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Also stimmt der Beweis zu der 3) doch mit der Begründung da $\begin{eqnarray*} detD\neq 0 \end{eqnarray*}$ muss ein inverses Element existieren?

b) Mit dem Hinweis bin ich nun zurecht gekommen. Mit ein paar Umformungen erhält man $\begin{eqnarray*} detD=\pm 1 \end{eqnarray*}$

c) Hier habe ich die Matrizen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ genommen und die Matrixmultiplikation angewendet. Man sieht dann das man keine Matrix der Form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\varphi& -\sin\varphi\\ 0 & \sin\varphi& \cos\varphi \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ erhält und damit ist die Abgeschlossenheit verletzt.

Noch zu meiner letzten Frage: Ist das eine Spiegelung an der x-Achse oder gibt es dort keine Unterscheidungen wie bei den Rotationsmatrizen so das es nur eine Matrix gibt für Drehspiegelungen?

Falls das erstmal so stimmt habe ich noch eine abschließende Frage.

Danke!

23.01.2016, 15:30

IfindU

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Der Beweis zu 3 stimmt.

c) Da du ein Gegenbeispiel suchst, darfst du dir eine Spiegelung um die "x-Achse" nehmen (um Achsen siegeln macht nicht viel Sinn, man spiegelt an der yz-Ebene, dafür sind das die richtigen Matrizen) : Aber (!) das Ergebnis muss nicht wieder eine Spiegelung um die x-Achse sein. Es könnte doch sein, dass man danach um eine andere Ebene spiegelt.

Du hast doch die Menge $\begin{eqnarray*} O^- = \{ D \in GL_3| D^t = D^{-1}, \det D = -1 \} \end{eqnarray*}$ . Nun musst du nur 2 Matrizen finden so dass deren Produkt nicht wieder in $\begin{eqnarray*} O^- \end{eqnarray*}$ liegt -- und das heisst mindestens eine der Bedingungen oben ist für das Produkt verletzt.

23.01.2016, 17:18

yellowman

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Hallo, jetzt habe ich es. Wenn ich die Matrixmultiplikation anwende erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} det\left(\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\right)=1 \end{eqnarray*}$ und damit liegt die neue Matrix nicht in $\begin{eqnarray*} O^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Damit müsste der Beweis erbracht sein.

Noch eine abschließende Frage die ich zu Beginn schon einmal gestellt habe.

Warum sagt man das bei einer orthogonalen Matrix und $\begin{eqnarray*} detD=1 \end{eqnarray*}$ es eine Rotation sein muss?
Prinzipiell kann es doch auch eine Translation oder Schraubung sein.

Danke

23.01.2016, 19:13

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt nun. Und das Produkt zweier Matrizen mit Determinante -1 ergibt immer eine Matrix mit Determinante 1 -- daher mein Kommentar, dass absolut jedes Paar ein Gegenbeispiel ist.

Alternativ hätte es gereicht zu bemerken, dass die Einheitsmatrix nicht dadrin liegt und wir somit kein Neutrales in der Menge haben. Unter Inversen ist es übrigens abgeschlossen -- wenigstens etwas.

Auf die Frage war ich nicht eingegangen, weil ich sie nicht wirklich verstanden habe. Orthogonale Matrizen mit Determinante sind immer Rotationen. Das einzige was ich mir vorstellen kann ist die "Einbettung" $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3 \times 3} \to \text{Abb} (\mathbb R^3, \mathbb R^3) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A \mapsto ( x \mapsto Ax +b) \end{eqnarray*}$ für irgendeinen Vektor $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ .

Ansonsten musst du erklären wie eine feste Matrix eine Translation darstellt.

23.01.2016, 19:49

yellowman

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Zum Beispiel bei Wikipedia findet sich dazu ein Artikel. https://de.wikipedia.org/wiki/Bewegung_%28Mathematik%29
Bewegungen im euklidischen Raum

Eine ausführliche Erklärung zu der eigentlichen und uneigentlichen Bewegung habe ich hier gefunden:
http://www.uni-regensburg.de/Fakultaeten...kapVI_para3.pdf

Dort wird auch beschrieben das eine orthogonale Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} det(A)=1 \end{eqnarray*}$ eine eigentliche Bewegung darstellt und diese im euklidischen Raum eine Translation, Rotation oder Schraubung sein kann.
Vielleicht kannst du damit etwas mehr anfangen und weißt was ich genau meine.

Vielen Dank

23.01.2016, 20:03

IfindU

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Bei "Beschreibung in Koordinaten" steht genau das was ich sagte.

Man definiert sich eine Funktion $\begin{eqnarray*} y(x) = Ax +b \end{eqnarray*}$ . Und das ist eine eigentliche Bewegung, wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine Rotation ist. Die Translation hier ist übrigens $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ .

23.01.2016, 20:25

yellowman

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Vielen Dank für deine Antwort, dass hat mir in großer Hinsicht weiter geholfen. Wie ist das allerdings gemeint mit "Die Translation hier ist übrigens b?

Ich bin immer davon ausgegangen um zu testen ob die Funktion $\begin{eqnarray*} y(x)=Ax+b \end{eqnarray*}$ eine Translation ist muss man schauen ob der Abstand invariant bleibt. Konkret als x'=x+a wobei a ein Verschiebungsvektor ist. Dann prüft man ob der Abstand $\begin{eqnarray*} d^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2 \end{eqnarray*}$ invariant gegenüber bleibt.

23.01.2016, 22:46

yellowman

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Wenn die Funktion $\begin{eqnarray*} y(x)=Ax+b \end{eqnarray*}$ wenn A orthogonal und $\begin{eqnarray*} detA=1 \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine Rotationsmatrix und die Abbildung $\begin{eqnarray*} y(x) \end{eqnarray*}$ somit eine eigentliche Bewegung.

Wenn A orthogonal und $\begin{eqnarray*} detA=-1 \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ Drehspiegelung und damit eine uneigentliche Bewegung.

Wenn eins der beiden Kriterien verletzt ist handelt es sich also um keine Bewegung?

Das wäre auch die letzte Frage.

Danke!

24.01.2016, 13:15

IfindU

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Ich hätte korrekter sagen müssen: " $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist hier der Translationsanteil der Bewegung". Das $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ dreht und spiegelt, und das $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ verschiebt die Bewegung. Bsp: In 1D hat man ja $\begin{eqnarray*} y = mx + b \end{eqnarray*}$ . Da wir orthogonal sind ist $\begin{eqnarray*} m \in \{ -1, 1 \} \end{eqnarray*}$ . Es gibt hier nur die triviale Rotationen (um 0 Grad), und man spiegelt um die $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ Achse fuer $\begin{eqnarray*} m = -1 \end{eqnarray*}$ . Das $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ hier verschiebt den Graphen nur noch oben bzw. unten.

Zum nächsten Post: Richtig, so ist Bewegung definiert. Womit nicht auszuschließen ist, dass es allgemeinere Definitionen von Bewegungen gibt.

24.01.2016, 15:03

yellowman

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Mit deinen Erklärungen bin ich nun super zurecht gekommen.

Ich bedanke mich für deine tolle Hilfe und sage bis zum nächsten mal. Wink

Wink

24.01.2016, 15:28

IfindU

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Bitte

Freude

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