Vektor senkrecht zu einer Ebene

19.01.2016, 19:09	yukon	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektor senkrecht zu einer Ebene Meine Frage: Ich habe eine Frage und die Loesung, verstehe aber die Loesung nicht: Die Punkte P, Q, R liegen nicht in einer Linie und haben die Positionsvekoren $\begin{eqnarray} vec{a} ,\vec{b} ,\vec{c} \end{eqnarray}$ relativ zu einem Nullpunkt Beweise , dass $\begin{eqnarray} \vec{a} x\vec{b} + \vec{b} x\vec{c} + \vec{c} x\vec{a } \end{eqnarray}$ ein Vektor ist, der senkrecht zur Ebene P, Q, R steht. Die angegebene Loesung sagt: $\begin{eqnarray} \vec{r} \end{eqnarray}$ sei ein beliebiger Positionsvektor in der Ebene P,Q,R, dann gilt $\begin{eqnarray} (\vec{r} -\vec{a} ) dot (\vec{b} -\vec{a} )x (\vec{c} -\vec{a} ) =0 \end{eqnarray}$ (Gleichung 1) oder $\begin{eqnarray} (\vec{r} -\vec{a)dot} (\vec{a} x\vec{b} + \vec{b} x\vec{c} +\vec{c} x\vec{a} =0 \end{eqnarray}$ (Gleichung 2) Meine Ideen: Ich verstehe, dass wenn das dot Produkt zweier Vektoren null ergibt, dann stehen diese zwei Vektoren senkrecht aufeinander. Ich verstehe dass $\begin{eqnarray} \vec{r} -\vec{a} \end{eqnarray}$ innerhalb der Ebene P, Q, R liegt. ich verstehe aber nicht: 1) Wie kommt man von Gleichung 1 zu Gleichung 2 2) bzgl. Gleichung 1: wie soll ich mir den aus dem cross-produkt $\begin{eqnarray} (\vec{b} -\vec{a} ) x (\vec{c} -\vec{a} ) \end{eqnarray}$ resultierenden Vektor vorstellen. Warum steht dieser Vektor senkrecht auf $\begin{eqnarray} \vec{r} -\vec{a} \end{eqnarray}$ ? LaTeX-Tags ergänzt. Steffen
20.01.2016, 09:48	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektor senkrecht zu einer Ebene Die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec b - \vec a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec c -\vec a \end{eqnarray}$ sind Richtungsvektoren, die vom Punkt P zu den Punkten Q bzw. R zeigen. Sie liegen daher in der durch P, Q und R definierten Ebene und spannen diese auf. Das Vektorprodukt zweier nicht paralleler Vektoren steht auf diesen Vektoren senkrecht. Die genannten Vektoren sind laut Aufgabenstellung nicht parallel, weil die 3 gegeben Punkte nicht auf einer Geraden liegen. Also steht das Vektoeprodukt $\begin{eqnarray} (\vec b - \vec a) \times (\vec c -\vec a) \end{eqnarray}$ auf diesen beiden Vektoren und damit auf der Ebene durch P, Q und R senkrecht. Damit steht es auf dem Vektor $\begin{eqnarray} \vec r - \vec a \end{eqnarray}$ senkrecht, womit Gleichung 1 hergeleitet ist. Für den Übergang zu Gleichung 2 ist das Vektorprodukt $\begin{eqnarray} (\vec b - \vec a) \times (\vec c -\vec a) \end{eqnarray}$ einfach mit dem Distributivgesetz ausmultipliziert worden. Dabei wurde benutzt, dass für beliebige Vektoren $\begin{eqnarray} \vec x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec y \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \vec x \times \vec y = - \vec y \times \vec x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec x \times \vec x = 0 \end{eqnarray}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »