Surjektivität beim tanh

20.01.2016, 07:01	Lehi	Auf diesen Beitrag antworten »
Surjektivität beim tanh Ich soll für $\begin{eqnarray} tanh : \mathbb{R} \rightarrow [-1,1] \end{eqnarray}$ zeigen, dass er streng monoton wachsend un bijektiv ist. Die Monotonie habe ich gezeigt, über $\begin{eqnarray} 1-\frac{2}{e^{2z}+1} \end{eqnarray}$ , da ja $\begin{eqnarray} \frac{2}{e^{2z}+1} \end{eqnarray}$ monoton fallend ist und somit $\begin{eqnarray} 1-\frac{2}{e^{2z}+1} \end{eqnarray}$ monoton wächst, womit ich auch die Injektivität hätte. Nur bei der Subjektivität hänge ich im Moment. Es würde mich freuen, wenn mir jemand einen Denkanstoß geben könnte
20.01.2016, 07:03	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Subjektivität beim tanh Surjektivitaet ist einfach -- da es gerade einfach falsch ist. Es wird nur das offene Intervall (-1, 1) getroffen.
20.01.2016, 07:28	Lehi	Auf diesen Beitrag antworten »
In dem Fall nicht, da wir es nur in dem Intervall $\begin{eqnarray} [-1,1] \end{eqnarray}$ betrachten und in dem Intervall ist es Surjektiv
20.01.2016, 08:51	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist es nicht -- du triffst weder die -1 noch die 1. Ein einfaches umstellen zeigst dies.
20.01.2016, 13:46	Lehi	Auf diesen Beitrag antworten »
genau das habe ich mir auch gedacht, aber in der Angabe steht explizit $\begin{eqnarray} [-1,1] \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} (-1,1) \end{eqnarray}$ . Ich hab nur nachgefragt, weil ich mir nicht sicher war, ob ich nicht doch etwas vergessen habe
20.01.2016, 13:49	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@Lehi Manche schreiben für das offene Intervall auch $\begin{align} ]-1,1[ \end{align}$ statt $\begin{align} (-1,1) \end{align}$ . Ich erwähne das nur für den Fall, dass du dich am Ende doch verlesen hast.
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20.01.2016, 13:51	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Surjektivität beim tanh Da $\begin{eqnarray} \|\sinh(x)\| < cosh(x) \end{eqnarray}$ kann es nicht surjektiv sein. Wenn man etwas Theorie draufwerfen will: Unter anderem aus strenger Monotonie folgt, dass die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} artanh: [-1, 1] \to \mathbb R \end{eqnarray}$ stetig und bijektiv ist. Damit haben wir eine stetige Funktion auf einem Kompaktum, das kein Maximum zulässt, unbeschränkt ist usw. Also vermutlich einfach Tippfehler, oder dort steht soetwas wie $\begin{eqnarray} \tanh: \overline {\mathbb R} \to [-1, 1] \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} \overline{ \mathbb R} = \mathbb R \cup \{ \pm \infty \} \end{eqnarray}$ .

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