Periodische/Aperiodische Zustände

20.01.2016, 09:29

LYD

Periodische/Aperiodische Zustände

Guten Morgen,
ich habe eine Übergangsmatrix gegeben und soll nun in Abhängigkeit von p und q bestimmen, welche Zustände periodisch bzw aperiodisch sind.

P= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1-p & 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & 1-q & q \\ 0 & 0 & 1-q & q \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Laut Definiton ist die Periode eines Zustands der ggT aller n $\begin{eqnarray*} \geq 1 \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} (P^{n})(i,i) \end{eqnarray*}$ größer 0.
Nun habe ich bisher festgestellt: Wenn p=0 ist, so wird abwechselnd zwischen den Zuständen 1 und 2 getauscht, sie sind also periodisch. Wenn p=1 ist, so werden die Zustände 1 und 2 bald nie mehr erreicht werden können, laut unserer Definition sind sie dann periodisch mit Periode $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ .
Was ist mit p zwischen 0 und 1? Ich würde, sagen dass es in diesem Fall immer eine Möglichkeit gibt, zur 1 zurückzukehren. Aber ist das dann periodisch?

Danke für Eure Hilfe!
Liebe Grüße

20.01.2016, 12:08

HAL 9000

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Fakt ist: Ist man erstmal in der Zustandsmenge {3,4}, kommt man nicht mehr raus. D.h., wenn es um die verbundenen Zustände 1,2 geht, dann kommt man nur zurück auf dem Weg über den jeweils anderen - damit sind diese beiden Zustände periodisch mit Periode 2 auch im Fall 0<p<1, im Unterschied zu Fall p=0 sind sie aber transient statt rekurrent, aber das war hier ja nicht gefragt.

Was die Zustände 3,4 betrifft, braucht man dann eine Fallunterscheidung bzgl. q - aber das ist dir ja sicherlich klar, und da möchte ich nicht vorgreifen.

20.01.2016, 15:48

LYD

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Okay alles klar, mich hatte nur die Tatdache verwirrt, dass man für 0<p<1 ja durchaus in die Zustandsmenge 3,4 kommen kann und somit nie mehr zu 1,2 zurück. Hatte also gedacht dass man jederzeit in einem regelmäßigen Zeitabstand in einen periodischen Zustand zurückkehren können muss...aber das war dann wohl der falsche Gedanke.

Zu q:
Wenn 0<q<1 gilt, so kommunizieren 3 und 4 ja miteinander und die Zustände sind periodisch. Für q=1 wäre 4 ein absorbierender Zustand, d.h. man bleibt in diesem. Das wäre doch auch periodisch mit Periode 1 oder?
Selbiges gilt bei q=0 für den Zustand 3.
Der jeweils andere Zustand wäre in beiden Fällen ja periodisch mit Periode unendlich, da man nie mehr zurückkehren kann.

20.01.2016, 15:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von LYD
Wenn 0<q<1 gilt, so kommunizieren 3 und 4 ja miteinander und die Zustände sind periodisch.

Schreibfehler? Sie sind aperiodisch (=periodisch mit Periodenlänge 1). Und auch beide rekurrent - falls dies gefragt würde. Augenzwinkern