Integration durch Substitution

20.01.2016, 10:42	Spitzbube^	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration durch Substitution Meine Frage: Hallo, ich hätte eine Frage zur Integration durch Substitution und hoffe, dass ihr mir helfen könnt. Bei folgender Aufgabe wurde das Argument in Klammern des Sinus substituiert, konkret 2x Aufgabe: $\begin{eqnarray} \int_{}^{} \! sin(2x) \, dx = \frac{1}{2} \int_{}^{} \! sin(2x)2 \, dx =\frac{1}{2}\int_{}^{} \! sin(t) \, dt=\left[\frac{1}{2}(-cos(t)+c \right] \end{eqnarray}$ Dann haben wir noch eine andere Aufgabe gemacht: $\begin{eqnarray} \int_{}^{} \! ln(x)\frac{1}{x} \, dx =\int_{}^{} \! t\, dt = \left[\frac{1}{2}u^{2} \right] =\left[\frac{1}{2}ln(x)^{2}+c \right] \end{eqnarray}$ Jetzt meine Frage: Warum wird bei der ersten Aufgabe das Argument des Sinus (2x) substituiert und bei der zweiten Aufgabe der komplette ln(x). Meine Ideen: Danke
20.01.2016, 10:48	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage Integration durch substitution Lapidare Antwort: weil es funktioniert. Das ist eben die Kunst bei der Integration, daß man eine passende Substitution wählt. Da gibt es (bis auf wenige Ausnahmen) kein Kochrezept der Form "Nimm das und alles wird gut".
20.01.2016, 11:23	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Wobei zumindest bei gewissen Integraltypen - wie eben auch diese hier - ja schon eine Marschrichtung erkennbar ist. Man kann sich hier die Frage stellen, was man denn substituieren könnte, dass gleichzeitig dazu führt, dass die im Integral auftauchende Ableitung ebenso ersetzt. Beim ersten Integral macht es daher Sinn einfach t=2x zu substituieren, da ja ebenso t'=2 als Faktor im Integral vorkommt (wobei man konstante Faktoren eh immer in den Griff bekommt). Beim zweiten Integral führt die Substitution u=ln(x) zum Ziel, da halt u'=1/x wiederum im Integral auftaucht. Die Substitution u=1/x (also andersherum) würde hier z.B. zu nichts führen, denn sieht man u'=-1/x² da irgendwo ? Nein. Oft genug führt der obige Gedanke auch zu nichts (je nach Bauart der Funktion), aber es lohnt sich in jedem Fall diesen Ansatz zunächst mal durchzuspielen, da Übungsaufgaben ja oft auch bewusst, also mit Hintergedanken, gestellt sind.
20.01.2016, 16:40	Spitzbube^	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, Danke
20.01.2016, 16:46	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@Spitzbube^ Integralsubstitutionen erfolgen häufig nach dem Motto "Der Erfolg gibt einem Recht". Als Neuling schüttelt man sicher den Kopf, wenn man für das Integral $\begin{align} \int \sqrt{1-x^2} ~ \dd x \end{align}$ die Substitutionsempfehlung $\begin{align} x=\sin(u) \end{align}$ hört.

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