Ableitung mit dritter Wurzel im Nenner

20.01.2016, 13:19

Aliqui

Ableitung mit dritter Wurzel im Nenner

Hey Leute!

nachdem nun einige Zeit seit meiner Schulzeit vergangen ist und ich nun studiere, plagt mich wieder das gute alte Differentialrechnen. Eigentlich geht es ganz ok, aber an einer Aufgabe rupf ich mir die restlichen Haare aus. Die Lösung wurde schon gegeben, aber ich komm und komm nicht drauf.
Hier die Aufgabe (Ich weiß leider nicht genau, wie man hier die Funktionen richtig schreibt, aber ich versuch es mal)

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{³\sqrt{a+bx²}} \end{eqnarray*}$

so müsste es klappen.

Klar ist, dass man erst das Wurzelzeichen auflösen muss und dann die Quotientenregel anwenden muss, aber irgendwie ist bei mir da zwischendurch ein Fehler. Ich habe da verschiedene Wege bisher, aber komme nicht aus das richtige Ergebnis. Also meine Erste Frage (und dann werde ich es erst nochmal selbst rechnen): Wie Löse ich die Klammer am besten auf? Meine Idee war bisher

$\begin{eqnarray*} a^\frac{1}{3} +bx^\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} (a+bx²)^\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

was ja eigentlich das gleiche sein müsste oder?

Auf jeden Fall ist da irgendwo der Wurm bei mir drinne.

Danke auf jeden Fall schonmal!
Dennis

20.01.2016, 13:26

moody_ds

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RE: Ableitung mit dritter Wurzel im Nenner

Zitat:

Original von Aliqui
$\begin{eqnarray*} a^\frac{1}{3} +bx^\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} (a+bx²)^\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Auf jeden Fall so $\begin{eqnarray*} (a+bx²)^\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

die erste Möglichkeit ist ganz böse, so kann man auf keinen Fall Wurzeln auflösen.

Und statt der Quotientenregel würde ich es eher mit der Kettenregel versuchen Wink

20.01.2016, 13:29

gast2001

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RE: Ableitung mit dritter Wurzel im Nenner
"was ja eigentlich das gleiche sein müsste oder?"

Da irrst du dich gewaltig.
Nur die 2. (Auf)Lösung ist korrekt. smile

20.01.2016, 13:30

klarsoweit

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RE: Ableitung mit dritter Wurzel im Nenner

Zitat:

Original von Aliqui
Klar ist, dass man erst das Wurzelzeichen auflösen muss und dann die Quotientenregel anwenden muss

Das ist absolut nicht klar und so leicht läßt sich das Wurzelzeichen auch nicht wegbekommen.

Zitat:

Original von Aliqui
Wie Löse ich die Klammer am besten auf?

Da ist keine Klammer, sondern "nur" (wie schon festgestellt) ein Wurzelzeichen.

Zitat:

Original von Aliqui
Meine Idee war bisher

$\begin{eqnarray*} a^\frac{1}{3} +bx^\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Das geht gar nicht.

Zitat:

Original von Aliqui
oder

$\begin{eqnarray*} (a+bx²)^\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Das geht schon eher, allerdings ist "nur" $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{a+bx^2} = (a+bx^2)^\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ .

Dir fehlt also noch die Verarbeitung des Bruchs. Tipp: $\begin{eqnarray*} \frac 1 a = a^{-1} \end{eqnarray*}$

EDIT: mal wieder zu spät. traurig

(Hatte aber auch mehr zu tippen.)
Bin dann raus.

20.01.2016, 13:44

Aliqui

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Ah ok! Dann hab ich also wieder mal eine eigene Rechenregel aufgestellt beim 1. Fall Big Laugh

Alles klar, ich werde nachm Mittagessen weiterrechnen und wenn ich keine Haare mehr aufm Kopp hab melde ich mich nochmal Big Laugh

20.01.2016, 14:58

Aliqui

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Hey Leute! Hat super geklappt!

Habe sowohl Quotienten- und Kettenregel, aber es auch ausprobiert den Bruch aufzulösen und dann einfach mit der Kettenregel weiterzumachen. Ging beides auf und ich bin auf der Ergebnis gekommen

Hier die Lösung, Brauch auflösen und dann Kettenregel:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{(a+bx²)^\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=1*(1+bx²)^\frac{-1}{-3} \end{eqnarray*}$ ( hier habe ich nicht komplett die produktregel aufgeschrieben, weil 0 mal)

$\begin{eqnarray*} =-\frac{1}{3}(a+bx²)^\frac{-4}{-3}*2bx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =-\frac{2}{3}bx(a+bx²)^\frac{-4}{-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =-\frac{2}{3}bx \frac{1}{(a+bx²)^\frac{4}{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =-\frac{2}{3}bx \frac{1}{\sqrt[3]{(a+bx²)^4}} \end{eqnarray*}$

Ich muss sagen, dieses Formeln hier aufschreiben macht schon Laune Big Laugh

20.01.2016, 15:45

moody_ds

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Das Endergebnis stimmt. Du hast auf deinem Rechenweg aber im Exponenten sowohl im Nenner als auch im Zähler ein negatives Vorzeichen, da tippe ich aber mal auf einen Tippfehler (no pun intended Hammer

)

und mit

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{(a+bx²)^\frac{1}{3}} = 1 \cdot (a+bx²)^\frac{-1}{3} = (a+bx²)^\frac{-1}{3} \end{eqnarray*}$

kann man auch direkt mit der Kettenregel ans Werk gehen Wink

20.01.2016, 17:15

Aliqui

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ja, so wie du das hast meinte ich das Big Laugh

21.01.2016, 07:33

klarsoweit

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Zitat:

Original von Aliqui
$\begin{eqnarray*} f'(x)=1*(1+bx²)^\frac{-1}{-3} \end{eqnarray*}$ ( hier habe ich nicht komplett die produktregel aufgeschrieben, weil 0 mal)

Ich weiß jetzt nicht, was du hier sagen willst, aber korrekt ist $\begin{eqnarray*} f(x) = 1*(1+bx^2)^{-\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ . smile

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