Mittelpunkt des Schnittkreises per Skalarprodukt (Kugeloberfläche, -mittelpunkt, Parameterform)

20.01.2016, 17:19

Enomine

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Mittelpunkt des Schnittkreises per Skalarprodukt (Kugeloberfläche, -mittelpunkt, Parameterform)

Hi,

Aufgabenstellung:
Kugeloberfläche: $\begin{eqnarray*} <r-r_M, r-r_M>=25 \end{eqnarray*}$
Kugelmittelpunkt: $\begin{eqnarray*} r_M = \begin{pmatrix} 5\\ 4 \\-3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kugel schneidet die Folgende Ebene in einem Kreis:

$\begin{eqnarray*} r=r_1+t_1*b_1+t_2*b_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r_1 = \begin{pmatrix} 2\\5\\0\end{pmatrix}, b_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\1\\0\end{pmatrix}, b_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1\\1\\0\end{pmatrix}, r_s = \begin{pmatrix} 5\\4\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie den Mittelpunkt des Schnittkreises mit dem Skalarprodukt.

Lösungsansatz:
Ich sehe es so, dass mir die Ebene in Parameterform gegeben ist.
1) Ich müsste aus der Kugeloberfläche irgendwie den Vektor r berechnen. Ich habe versucht durch umformen des Skalarproduktes darauf zu kommen aber ich bekomme natürlich eine Gleichung mit drei unbekannten.
2) Wenn ich dann r hätte dann hätte ich die Parameterform komplett. Jedoch habe ich im Internet keine Webseiten gefunden, die den Mittelpunkt über die Parameterform mit einem Skalarprodukt errechnen. Das einzige was ich gefunden habe waren nur Webseiten, die den Mittelpunkt über die Normalenform berechnen, indem vom Mittelpunkt des Kreises eine Gerade die orthogonal zur Ebene ist aufgestellt wird.
3) Ich habe keine Ahnung was $\begin{eqnarray*} r_s \end{eqnarray*}$ sein könnte.
4) Muss ich noch t1 und t2 berechnen, wenn ich r habe oder ist damit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ gemeint?

Danke - Enomine

20.01.2016, 18:50

riwe

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RE: Mittelpunkt des Schnittkreises per Skalarprodukt (Kugeloberfläche, -mittelpunkt, Parameterform)
wenn ich die eigenwillige Formulierung richtig verstehe und meine eigene (eigenwillige) verwenden darf:

$\begin{eqnarray*} (\vec{M}-\vec{m})\cdot\vec{b}_{1,2}=0 \end{eqnarray*}$

M Kugelmittelpunkt
m der gesuchte Kreismittelpunt

m liegt in der gegebenen Ebene Augenzwinkern

Augenzwinkern

damit bestimmst du die beiden Parameter und die Koordinaten von m

20.01.2016, 19:03

Leopold

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Ich denke, man kann hier ausnutzen, daß die Vektoren $\begin{align*} b_1,b_2 \end{align*}$ orthonormal sind. Man denkt sich daher ein zweidimensionales Koordinatensystem $\begin{align*} \mathcal{K} \end{align*}$ mit $\begin{align*} r_1 \end{align*}$ als Koordinatenursprung und $\begin{align*} b_1,b_2 \end{align*}$ als den Einheitsvektoren. Hat in $\begin{align*} \mathcal{K} \end{align*}$ ein Punkt $\begin{align*} r \end{align*}$ die Koordinaten $\begin{align*} [t_1,t_2] \end{align*}$ , so hat er im ursprünglichen Koordinatensystem die Koordinaten $\begin{align*} r_1 + t_1b_1 + t_2 b_2 \end{align*}$ .

Setzt man nun alle Größen in $\begin{align*} \left \langle r - r_M \, , \, r - r_M \right \rangle = 25 \end{align*}$ ein, so erhält man eine quadratische Form in $\begin{align*} t_1,t_2 \end{align*}$ . Ohne große Mühe läßt sie sich mit quadratischer Ergänzung auf die Gestalt

$\begin{align*} \left( t_1 - \sqrt{2} \right)^2 + \left( t_2 + 2 \sqrt{2} \right)^2 = 16 \end{align*}$

bringen. Hieran kann man den Mittelpunkt des Schnittkreis in $\begin{align*} \mathcal{K} \end{align*}$ -Koordinaten ablesen. Leicht lassen sich diese in die ursprünglichen Koordinaten umrechnen.

20.01.2016, 19:18

Enomine

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RE: Mittelpunkt des Schnittkreises per Skalarprodukt (Kugeloberfläche, -mittelpunkt, Parameterform)

Zitat:

Original von riwe $\begin{eqnarray*} (\vec{M}-\vec{m})\cdot\vec{b}_{1,2}=0 \end{eqnarray*}$
M Kugelmittelpunkt
m der gesuchte Kreismittelpunt

damit bestimmst du die beiden Parameter und die Koordinaten von m

Hallo und danke für deinen Ansatz.
Ich weiß nicht was du mit $\begin{eqnarray*} b_{1,2} \end{eqnarray*}$ meinst.
Wenn ich die Formel ausmultipiziere und dann nach m auflöse erhalte ich
$\begin{eqnarray*} \vec{M}\cdot\vec{b_{1,2}} - \vec{m}\cdot\vec{b_{1,2}} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{M}\cdot\vec{b_{1,2}} = \vec{m}\cdot\vec{b_{1,2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{M} = \vec{m} \end{eqnarray*}$

Daher verstehe ich deine Formel in diesen zwei Angelegenheiten nicht.

Wie kommst du auf die Formel?
Wie genau soll ich weiter rechnen?
Ist das noch kongruent zur Aufgabenstellung, dass der Mittelpunkt mit dem Skalarprodukt ausgerechnet werden soll?

Danke - Enomine

20.01.2016, 19:25

riwe

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RE: Mittelpunkt des Schnittkreises per Skalarprodukt (Kugeloberfläche, -mittelpunkt, Parameterform)
steht doch oben unglücklich

unglücklich

die vektoren b_i = b_1 und/ oder b_2 stehen doch senkrecht auf den Vektor (M - m)
(M = r_M und m liegt in E, efüllt also die Ebenengleichung),
das entsprechende SKALARPRODUKT ist also Null und daher:

$\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} 5 \\ 4\\ -3 \end{pmatrix} -\vec{r})\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$

(nebenbei r_s ist die gesuchte Lösung)

23.01.2016, 17:32

Enomine

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Zitat:

Original von Leopold
Ich denke, man kann hier ausnutzen, daß die Vektoren $\begin{align*} b_1,b_2 \end{align*}$ orthonormal sind. Man denkt sich daher ein zweidimensionales Koordinatensystem $\begin{align*} \mathcal{K} \end{align*}$ mit $\begin{align*} r_1 \end{align*}$ als Koordinatenursprung und $\begin{align*} b_1,b_2 \end{align*}$ als den Einheitsvektoren. Hat in $\begin{align*} \mathcal{K} \end{align*}$ ein Punkt $\begin{align*} r \end{align*}$ die Koordinaten $\begin{align*} [t_1,t_2] \end{align*}$ , so hat er im ursprünglichen Koordinatensystem die Koordinaten $\begin{align*} r_1 + t_1b_1 + t_2 b_2 \end{align*}$ .

Setzt man nun alle Größen in $\begin{align*} \left \langle r - r_M \, , \, r - r_M \right \rangle = 25 \end{align*}$ ein, so erhält man eine quadratische Form in $\begin{align*} t_1,t_2 \end{align*}$ . Ohne große Mühe läßt sie sich mit quadratischer Ergänzung auf die Gestalt

$\begin{align*} \left( t_1 - \sqrt{2} \right)^2 + \left( t_2 + 2 \sqrt{2} \right)^2 = 16 \end{align*}$

bringen. Hieran kann man den Mittelpunkt des Schnittkreis in $\begin{align*} \mathcal{K} \end{align*}$ -Koordinaten ablesen. Leicht lassen sich diese in die ursprünglichen Koordinaten umrechnen.

Hallo Leopold, ich habe mich mal an der Einsetzung probiert und das ausgerechnet. Aber wenn ich es eingesetzt habe verstehe ich nicht genau wo du die quadratische Ergänzung ansetzen willst, denn solange ich noch nur die Variablen drin habe kann ich ja nicht das Skalarprodukt ausrechnen. Und wenn ich die richtigen Zahlen einsetze und es ausrechne dann kommt am Ende eben 14 = 14 bzw. 0 = 0 heraus, also dass die Gleichung stimmt. Aber ich erhalte keine Werte für t1 oder t2.

Rein theoretisch habe ich ja jetzt die Formel:

$\begin{align*} {t_2}^2 = 14 - {t_1}^2 - \frac{8t_1}{\sqrt{2}} \end{align*}$

und könnte für beliebige t1 mir das entsprechende t2 ausrechnen. Und nach deiner geometrischen Erklärung welche sich logisch anhört könnte ich diese dann in die von dir genannte Formel zurückführen. Jedoch kann ich ja nicht einfach irgendein t1 wählen - ich brauche doch das bestimmte, welches dann auch im Mittelpunkt liegt - oder?

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Danke - Enomine

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23.01.2016, 18:54

Leopold

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$\begin{align*} (u+v+w)^2 = u^2 + v^2 + w^2 + \color{red} 2uv + 2uw + 2vw \end{align*}$

Du hast bei den gemischten Gliedern $\begin{align*} 2 \cdot (u+v) + \ldots \end{align*}$ gerechnet. Was herauskommen muß, steht ja schon in meinem ersten Beitrag. Und dort kann man auch den Mittelpunkt in $\begin{align*} \mathcal{K} \end{align*}$ -Koordinaten ablesen.

23.01.2016, 19:34

Enomine

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Oh ja du hast natürlich recht. Ich habe es nochmal ausgerechnet.

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[attach]40585[/attach]

Meinst du an dieser Stelle, dass man nun die Quadratische Ergänzung machen muss?

Danke - Enomine

23.01.2016, 20:01

Leopold

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Wieder ein Fehler: $\begin{align*} 2 \cdot 1 = 2 \end{align*}$ . Du hast addiert und $\begin{align*} 3 \end{align*}$ erhalten.

Ich habe das einmal allgemein gerechnet.

Da $\begin{align*} b_1,b_2 \end{align*}$ ein Orthonormalsystem bilden, also

$\begin{align*} \left \langle b_1 \, , \, b_1 \right \rangle = 1 \, , \ \left \langle b_2 \, , \, b_2 \right \rangle = 1 \, , \ \left \langle b_1 \, , \, b_2 \right \rangle = 0 \end{align*}$

gilt, folgt:

$\begin{align*} \left \langle t_1 b_1 + t_2 b_2 + r_1 - r_M \, , \, t_1 b_1 + t_2 b_2 + r_1 - r_M \right \rangle = 25 \end{align*}$

$\begin{align*} {t_1}^2 + {t_2}^2 + 2 t_1 \left \langle r_1 - r_M \, , \, b_1 \right \rangle + 2 t_2 \left \langle r_1 - r_M \, , \, b_2 \right \rangle + \left \langle r_1 - r_M \, , \, r_1 - r_M \right \rangle = 25 \end{align*}$

Jetzt die quadratische Ergänzung:

$\begin{align*} \left( \ t_1 + \left \langle r_1 - r_M \, , \, b_1 \right \rangle \ \right)^2 + \left( \ t_2 + \left \langle r_1 - r_M \, , \, b_2 \right \rangle \ \right)^2 = 25 - \left \langle r_1 - r_M \, , \, r_1 - r_M \right \rangle + {\left \langle r_1 - r_M \, , \, b_1 \right \rangle}^2 + {\left \langle r_1 - r_M \, , \, b_2 \right \rangle}^2 \end{align*}$

24.01.2016, 18:14

Enomine

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Hey,

leider kenne ich die Formel nicht wie du vom Gleichung 1 auf Gleichung 2 kommst.

Das Skalarprodukt von a und b ist eben a1*b1 + a2*b2 + a3*b3.
Deswegen habe ich direkt alles eingesetzt und es dann ausmultipliziert.

Aufgrund welcher Formel kommst du auf diese Umformung?

Du stellst zunächst fest:

Zitat:

$\begin{align*} \left \langle b_1 \, , \, b_1 \right \rangle = 1 \, , \ \left \langle b_2 \, , \, b_2 \right \rangle = 1 \, , \ \left \langle b_1 \, , \, b_2 \right \rangle = 0 \end{align*}$

Ich vermute, dass du bei der zweiten Gleichung ggf. teile ausgelassen hast, weil 1*x = x und weil 0+x=x ist. Mir wäre es aber hilfreich, wenn ich die komplette Formel hätte und dann selbst kürzen und streichen könnte.

Ich habe versucht zu rekonstruieren wie du auf das Ergebnis gekommen bist. Weil Quadrate drin sind und 2*xy hat mich das an die Binomische Formeln erinnert. Als Quadrinom sollte ich es aber anscheinend nicht behandeln:

[attach]40620[/attach]

Danke - Enomine

24.01.2016, 18:44

Enomine

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Die doppelte Quadratische Ergänzung habe ich nachvollziehen können:

[attach]40621[/attach]
[attach]40622[/attach]

Danke - Enomine

24.01.2016, 19:05

Leopold

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Ich hatte nicht die Absicht, dich mit der allgemeinen Lösung zu verwirren. Sie war eher für später gedacht. Warum rechnest du nicht deinen ursprünglichen Ansatz zu Ende? Du bist ja kurz vorm Ziel. Daß $\begin{align*} 2 \cdot 1 = 2 \end{align*}$ und nicht $\begin{align*} 3 \end{align*}$ ist, ist ja inzwischen geklärt. Erst, wenn du das getan hast, solltest du diesen Beitrag weiterlesen.

In der elementaren dreidimensionalen Geometrie ist es durchaus üblich, das Skalarprodukt als das zu schreiben, wonach es heißt, nämlich als Produkt. Kennst du das nicht von der Schule? Man schreibt also $\begin{align*} ab \end{align*}$ statt $\begin{align*} \langle a,b \rangle \end{align*}$ und $\begin{align*} a^2 \end{align*}$ statt $\begin{align*} \langle a,a \rangle \end{align*}$ . Solange man weiß, was man tut, ist das sehr elegant. Das Skalarprodukt heißt ja deshalb Produkt, weil es gewisse Eigenschaft eines typischen Produktes aufweist, insbesondere die Distributivität bezüglich der Vektoraddition. Die Regel $\begin{align*} \langle a , b+c \rangle = \langle a,b \rangle + \langle a,c \rangle \end{align*}$ lautet in der Produktschreibweise $\begin{align*} a(b+c) = ab + ac \end{align*}$ und läßt sich so leicht merken. Und den Term $\begin{align*} \left \langle a+b+c \, , \, a+b+c \right \rangle \end{align*}$ würde man so schreiben: $\begin{align*} (a+b+c)^2 \end{align*}$ . Und man kann ihn binomisch auflösen: $\begin{align*} (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 +2ab + 2ac + 2bc \end{align*}$ . Und genau das habe ich getan von Zeile 1 auf Zeile 2 meiner Umformung. Daneben habe ich noch die Regel $\begin{align*} \left \langle ta \, , \, ta \right \rangle = t^2 \langle a,a \rangle \end{align*}$ verwendet, die in Produktschreibweise so lauten würde: $\begin{align*} (ta)^2 = t^2 a^2 \end{align*}$ . Und hier beginnen die Probleme. Die Regel ist richtig, wenn $\begin{align*} t \end{align*}$ ein Skalar und $\begin{align*} a \end{align*}$ ein Vektor ist. Das muß man im Hinterkopf haben, denn den Variablen direkt sieht man ihren Typ ja nicht an, insbesondere, wenn man für alles, egal ob Skalar oder Vektor, lateinische Buchstaben verwendet, wie ihr das anscheinend tut. Man kann ja z.B. auch das Skalarprodukt $\begin{align*} \langle a,a \rangle \end{align*}$ nehmen, was eine reelle Zahl ergibt, und diese quadrieren: $\begin{align*} {\langle a,a \rangle}^2 \end{align*}$ . In Produktschreibweise sähe das so aus: $\begin{align*} \left( a^2 \right)^2 \end{align*}$ . Und man ist jetzt in Versuchung, dafür $\begin{align*} a^4 \end{align*}$ zu schreiben, was aber grober Unfug wäre. Ich wiederhole mich daher: Solange man weiß, was man tut, ist das sehr elegant. Suggestion ist gut, man darf sich ihr aber nicht völlig überlassen.

24.01.2016, 19:22

Enomine

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Ich habe parallel dazu auch meine ursprüngliche Rechnung weiter gerechnet, auch bevor du es sagtest Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich habe aber nicht exakt das gleiche, wennauch fast das gleiche raus bekommen.

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[attach]40624[/attach]

Siehst du einen Fehler?

Danke - Enomine

24.01.2016, 19:36

Enomine

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Zitat:

Original von Leopold
In der elementaren dreidimensionalen Geometrie ist es durchaus üblich, das Skalarprodukt als das zu schreiben, wonach es heißt, nämlich als Produkt. Kennst du das nicht von der Schule?

In der Schule hatte ich nie Vektoren. Realschule + Fachabi. In der Real gabs das nicht, im Fachabi gabs nur Differenzial und Integralrechnung, mehr nicht. Vektoren kamen im Studium das erste mal.

Zitat:

Original von Leopold
Man schreibt also $\begin{align*} ab \end{align*}$ statt $\begin{align*} \langle a,b \rangle \end{align*}$ und $\begin{align*} a^2 \end{align*}$ statt $\begin{align*} \langle a,a \rangle \end{align*}$ . Solange man weiß, was man tut, ist das sehr elegant. Das Skalarprodukt heißt ja deshalb Produkt, weil es gewisse Eigenschaft eines typischen Produktes aufweist, insbesondere die Distributivität bezüglich der Vektoraddition. Die Regel $\begin{align*} \langle a , b+c \rangle = \langle a,b \rangle + \langle a,c \rangle \end{align*}$ lautet in der Produktschreibweise $\begin{align*} a(b+c) = ab + ac \end{align*}$ und läßt sich so leicht merken. Und den Term $\begin{align*} \left \langle a+b+c \, , \, a+b+c \right \rangle \end{align*}$ würde man so schreiben: $\begin{align*} (a+b+c)^2 \end{align*}$ . Und man kann ihn binomisch auflösen: $\begin{align*} (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 +2ab + 2ac + 2bc \end{align*}$ . Und genau das habe ich getan von Zeile 1 auf Zeile 2 meiner Umformung. Daneben habe ich noch die Regel $\begin{align*} \left \langle ta \, , \, ta \right \rangle = t^2 \langle a,a \rangle \end{align*}$ verwendet, die in Produktschreibweise so lauten würde: $\begin{align*} (ta)^2 = t^2 a^2 \end{align*}$ . Und hier beginnen die Probleme. Die Regel ist richtig, wenn $\begin{align*} t \end{align*}$ ein Skalar und $\begin{align*} a \end{align*}$ ein Vektor ist. Das muß man im Hinterkopf haben, denn den Variablen direkt sieht man ihren Typ ja nicht an, insbesondere, wenn man für alles, egal ob Skalar oder Vektor, lateinische Buchstaben verwendet, wie ihr das anscheinend tut. Man kann ja z.B. auch das Skalarprodukt $\begin{align*} \langle a,a \rangle \end{align*}$ nehmen, was eine reelle Zahl ergibt, und diese quadrieren: $\begin{align*} {\langle a,a \rangle}^2 \end{align*}$ . In Produktschreibweise sähe das so aus: $\begin{align*} \left( a^2 \right)^2 \end{align*}$ . Und man ist jetzt in Versuchung, dafür $\begin{align*} a^4 \end{align*}$ zu schreiben, was aber grober Unfug wäre. Ich wiederhole mich daher: Solange man weiß, was man tut, ist das sehr elegant. Suggestion ist gut, man darf sich ihr aber nicht völlig überlassen.

Okay das versuche ich mal herzuleiten, dann war mein Quadrinom ja doch der richtige Ansatz.

Danke - Enomine

24.01.2016, 20:26

Leopold

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$\begin{align*} \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \, , \ \ \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2} \end{align*}$

Und was ist nun der Kreismittelpunkt in $\begin{align*} \mathcal{K} \end{align*}$ -Koordinaten? Sagt dir deine letzte Gleichung etwas? Kennst du diese Darstellung?

24.01.2016, 21:01

Enomine

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Habe also versucht deine allgemeine Formel herzuleiten.

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[attach]40629[/attach]

Dort komme ich jetzt nicht weiter.

Danke - Enomine

24.01.2016, 22:15

Enomine

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
$\begin{align*} \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \, , \ \ \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2} \end{align*}$

alles klar. Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von Leopold
Und was ist nun der Kreismittelpunkt in $\begin{align*} \mathcal{K} \end{align*}$ -Koordinaten? Sagt dir deine letzte Gleichung etwas? Kennst du diese Darstellung?

Laut
https://www.lernhelfer.de/schuelerlexiko...ugelgleichungen
lässt sich eine Kugel in der Koordinatengleichung als $\begin{align*} x^2+y^2+z^2 = r^2 \end{align*}$ beschreiben. Hierbei sei r der Radius. Aber z^2 = -16 ist in $\begin{align*} \mathcal{R} \end{align*}$ unmöglich.
Aber eigentlich suchen wir ja keine Kugel...

Danke - Enomine

24.01.2016, 22:18

Enomine

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Ach und dann wäre da noch a² + b² = c² xD

moment!

Danke - Enomine

24.01.2016, 22:55

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Hat man in einem gewöhnlichen zweidimensionalen $\begin{align*} xy \end{align*}$ -Koordinatensystem einen Kreis mit Mittelpunkt $\begin{align*} (a,b) \end{align*}$ vom Radius $\begin{align*} r \end{align*}$ , so gilt für jeden Kreispunkt $\begin{align*} (x,y) \end{align*}$ nach Pythagoras: $\begin{align*} (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \end{align*}$ . Mach dir eine Skizze mit einem Steigungsdreieck zwischen $\begin{align*} (a,b) \end{align*}$ und $\begin{align*} (x,y) \end{align*}$ , dann sollte das klar sein. Und bei uns ist $\begin{align*} x=t_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} y=t_2 \end{align*}$ .

24.01.2016, 23:32

Enomine

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Schlag die Hände über dem Kopf zusammen.
Das ist genauso nachvollziehbar, wie dein Hinweis, dass ein Punkt $\begin{align*} [t_1,t_2] \end{align*}$ sich zurückrechnen lässt mit $\begin{align*} r_1 + t_1b_1 + t_2 b_2 \end{align*}$ . Aber ich komme einfach nicht auf irgendeinen Zahlenwert für t1 oder t2 mit dem ich dann den anderen berechnen könnte. Es kommt immer nur raus, dass die Gleichung wahr ist.

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[attach]40633[/attach]

Danke - Enomine

24.01.2016, 23:37

Enomine

Auf diesen Beitrag antworten »

[attach]40635[/attach]

25.01.2016, 00:00

Enomine

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Hat man in einem gewöhnlichen zweidimensionalen $\begin{align*} xy \end{align*}$ -Koordinatensystem einen Kreis mit Mittelpunkt $\begin{align*} (a,b) \end{align*}$ vom Radius $\begin{align*} r \end{align*}$ , so gilt für jeden Kreispunkt $\begin{align*} (x,y) \end{align*}$ nach Pythagoras: $\begin{align*} (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \end{align*}$ . Mach dir eine Skizze mit einem Steigungsdreieck zwischen $\begin{align*} (a,b) \end{align*}$ und $\begin{align*} (x,y) \end{align*}$ , dann sollte das klar sein. Und bei uns ist $\begin{align*} x=t_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} y=t_2 \end{align*}$ .

Also wenn du sagst, dass (a,b) der Mittelpunkt in dem Koordinatensystem ist, dann müsste das ja der Mittelpunkt sein den ich in meiner Ebene also im Original-Koordinatensystem suche. Und du sagtest, dass ein Punkt [t1,t2] sich zurückrechnen lässt. Dies wiederspricht jedoch deiner Aussage, dass $\begin{align*} x=t_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} y=t_2 \end{align*}$ .

Danke - Enomine

25.01.2016, 00:09

Enomine

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Die Berechnung um Gestern, 23:32 war natürlich lückenhaft.

[attach]40637[/attach]

25.01.2016, 03:26

Enomine

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Also $\begin{align*} r_1 \end{align*}$ ist senkrecht zu $\begin{align*} b_1 \end{align*}$ ist senkrecht zu $\begin{align*} b_2 \end{align*}$ ist senkrecht zu $\begin{align*} r_1 \end{align*}$ .
Wenn ich von $\begin{align*} r_M \end{align*}$ das Lot auf die Ebene fallen lasse, dann muss also $\begin{align*} r_M \end{align*}$ parallel zu $\begin{align*} r_1 \end{align*}$ sein und damit muss $\begin{align*} r_M \end{align*}$ senkrecht zu $\begin{align*} b_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} r_M \end{align*}$ senkrecht zu $\begin{align*} b_2 \end{align*}$ sein.

Desweiteren habe ich in meinem Koordinatensystem $\begin{align*} \mathcal{K}_{r_1,b_1,b_2} \end{align*}$ einen Ortsvektor $\begin{align*} v \end{align*}$ , der zum Mittelpunkt des Schnittkreises zeigt.
Da $\begin{align*} r_M \end{align*}$ senkrecht zu $\begin{align*} b_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} b_2 \end{align*}$ ist, welche die Ebene aufspannen muss $\begin{align*} r_M \end{align*}$ auch senkrecht zu $\begin{align*} v \end{align*}$ sein. Außerdem muss $\begin{align*} r_1 \end{align*}$ senkrecht zu $\begin{align*} v \end{align*}$ sein.

Lässt man vom Mittelpunkt des Schnittkreises das Lot auf die Achse $\begin{align*} b_1 \end{align*}$ fallen entsteht ein rechtwinkliges Dreieck. Gleiches, wenn man das Lot vom Mittelpunkt des Schnittkreises auf $\begin{align*} b_2 \end{align*}$ fallen lässt.

Wir können aber auch vom Schnittkreismittelpunkt den Radius einzeichnen zum Kreis und erreichen damit die Wand der Kugel. Dieser Radius wäre die Hypotenuse wenn wir im Schnittkreismittelpunkt ein neues Koordinatensystem erstellen und den Randpunkt auf einen der Koordinatenschenkel fallen lassen.

PS: Habe innerhalb der letzten 3 Stunden nun er kannt wie ich im Beitrag von Gestern, 21:01 weiter komme indem ich die Binomische Formel erkannt habe.

Danke - Enomine

25.01.2016, 04:26

Enomine

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[attach]40638[/attach]
Korrektur schreibfehler: |b2| = 1

25.01.2016, 06:14

Leopold

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Wie kommst du darauf, daß $\begin{align*} r_1 \end{align*}$ auf $\begin{align*} b_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} b_2 \end{align*}$ senkrecht steht? Berechne das Skalarprodukt, dann siehst du, daß dem nicht so ist. Nur $\begin{align*} b_1,b_2 \end{align*}$ stehen senkrecht aufeinander, wie ihr Skalarprodukt zeigt. Auch sonstige Orthogonalitäten sehe ich nicht. Vor allem sollte man die auch nur für Richtungs- und Normalenvektoren betrachten. Für Stützvektoren ergibt das im allgemeinen keinen Sinn.

$\begin{align*} (t_1-m_1)^2 + (t_2-m_2)^2 = r^2 \end{align*}$

$\begin{align*} \left( t_1 - \sqrt{2} \right)^2 + \left( t_2 + 2 \sqrt{2} \right)^2 = 16 \end{align*}$

Du brauchst nichts mehr zu rechnen. Du kannst alle Informationen ablesen. Du bist fertig.

25.01.2016, 13:15

Enomine

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Ich muss nichts mehr rechnen? Ich weiß doch immer noch keine Werte für t1 und t2 kann also nicht zurück rechnen.
Ich hab keine Ahnung was mir
$\begin{align*} (t_1-m_1)^2 + (t_2-m_2)^2 = r^2 \end{align*}$

$\begin{align*} \left( t_1 - \sqrt{2} \right)^2 + \left( t_2 + 2 \sqrt{2} \right)^2 = 16 \end{align*}$

jetzt sagt.
Oder sagen wir es so: Mir fehlt der Antwortsatz, also die Interpretation.

EDIT: Meine Erwartung ist, dass ich einen Vektor als Ergebnis habe.

Danke - Enomine

25.01.2016, 14:07

Enomine

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Auf dieser PDF:
http://www.mathesite.de/pdf/krgl.pdf

werden die hinteren Teile der Klammern benommen und mit -1 Multipliziert. Dann werden diese in den Punkt M( | ) eingesetzt. Dies ist dann die Lösung der Aufgabe.

Ergo wäre mein Mittelpunkt des Schnittkreises dann doch

$\begin{align*} M(\sqrt{2} \big \vert -2 \sqrt{2}) \end{align*}$ bezogen auf die Ebene.

Das deckt sich auch mit meiner Zeichnung, bei der ich nur aus logischen Überlegungen den Vektor "rosa" richtig einzeichnete, weil ich dachte, dass die Kugel weiter vorne liegt und das Lot des Mittelpunktes der Kugel ja auf die Ebene fallen muss und dort genau der Mittelpunkt des Schnittkreises sein muss. Ich wollte es aber auch rechnen können in der Klausur.

25.01.2016, 14:52

Enomine

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[attach]40644[/attach]

Was ich jetzt nur nicht verstehe ist:

$\begin{align*} t_1 = \sqrt{2} \end{align*}$ , $\begin{align*} t_2 = -2 \sqrt{2} \end{align*}$

$\begin{align*} \left( \sqrt{2} - \sqrt{2} \right)^2 + \left( -2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \right)^2 = 16 \end{align*}$

$\begin{align*} 0 = 16 \end{align*}$

25.01.2016, 15:14

Enomine

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Thread für Teilaufgabe b)
Pseudoinverse einer Matrix (Schnittkreis Kugel mit Ebene Ergebnis kontrollieren)

Danke - Enomine

25.01.2016, 15:53

Leopold

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Manchmal erhält man etwas, indem man nicht in eine Gleichung einsetzt, sondern aus einer speziellen Form der Gleichung etwas abliest. Das ist ja wie beim Lösen einer quadratischen Gleichung: $\begin{align*} 2x - 3 - x^2 = 0 \end{align*}$ . Man dreht sich das so zurecht, daß es mit dem Muster $\begin{align*} ax^2 + bx + c = 0 \end{align*}$ übereinstimmt. In diesem Fall wäre das: $\begin{align*} (-1) \cdot x^2 + 2 \cdot x + (-3) = 0 \end{align*}$ , und man kann $\begin{align*} a=-1, b=2, c=-3 \end{align*}$ ablesen und in der Lösungsformel einsetzen.
Und hier ist das Muster $\begin{align*} (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \end{align*}$ , wenn $\begin{align*} (a,b) \end{align*}$ der Kreismittelpunkt und $\begin{align*} r \end{align*}$ der Radius ist. Bei uns heißen die Variablen jetzt nicht $\begin{align*} x,y \end{align*}$ , sondern $\begin{align*} t_1,t_2 \end{align*}$ und statt $\begin{align*} a,b \end{align*}$ schreibe ich $\begin{align*} (m_1,m_2) \end{align*}$ und für den Radius $\begin{align*} \varrho \end{align*}$ , einfach nur, weil ich die Bezeichner $\begin{align*} b,r \end{align*}$ , die doch längst für Vektoren verbraucht sind, nicht für eine Zahl nehmen will. Das angepaßte Muster ist daher $\begin{align*} (t_1-m_1)^2 + (t_2-m_2)^2 = \varrho^2 \end{align*}$ . Und unsere Gleichung heißt: $\begin{align*} \left( t_1 - \sqrt{2} \right)^2 + \left( t_2 + 2 \sqrt{2} \right)^2 = 16 \end{align*}$ . Und um sie auf das Muster zu bringen, brauche ich hinten ein Minuszeichen. Also verwende ich die bekannte Tatsache "minus minus gleich plus" und schreibe $\begin{align*} \left( t_1 - \sqrt{2} \right)^2 + \left( t_2 - \left( -2 \sqrt{2} \right) \right)^2 = 4^2 \end{align*}$ , und kann jetzt Mittelpunkt und Radius ablesen.

Zitat:

Original von Enomine
Was ich jetzt nur nicht verstehe ist:

$\begin{align*} t_1 = \sqrt{2} \end{align*}$ , $\begin{align*} t_2 = -2 \sqrt{2} \end{align*}$

$\begin{align*} \left( \sqrt{2} - \sqrt{2} \right)^2 + \left( -2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \right)^2 = 16 \end{align*}$

$\begin{align*} 0 = 16 \end{align*}$

Das kann, ja darf nicht gehen, denn die $\begin{align*} t_1,t_2 \end{align*}$ -Werte der Gleichung stehen für die Koordinaten von Kreispunkten. Der Mittelpunkt eines Kreises liegt aber gar nicht auf dem Kreis. Nie. Nimm etwas anderes, zum Beispiel: $\begin{align*} t_1 = - \sqrt{2}, \, t_2=0 \end{align*}$ . Probiere es aus, daß der Punkt mit diesen Koordinaten auf dem Kreis liegt. (Diese Rechnung zeigt übrigens, daß, anders als im Bild unten dargestellt, der gesuchte Kreis die $\begin{align*} t_2 \end{align*}$ -Achse schneidet.)

Ich habe einmal die Situation für dich dargestellt. Die Zeichnung orientiert sich nicht an konkreten Werten, sondern soll nur das Prinzip erläutern. Das Kugelsegment sieht wie eine Halbkugel aus, was natürlich in Wahrheit nicht zu sein braucht. Der Mittelpunkt der Kugel und des Schnittkreises sind also verschiedene Punkte. Ich hätte noch für $\begin{align*} r_M \end{align*}$ einen Pfeil von $\begin{align*} O \end{align*}$ zum Kugelmittelpunkt zeichnen können. Aber das hätte die Zeichnung nur unübersichtlicher gemacht. Denke dir den Kugelmittelpunkt irgendwo passend, aber nicht in der Ebene liegend.

[attach]40645[/attach]

Übrigens funktioniert das Ganze nur deshalb so einfach, weil die Vektoren $\begin{align*} b_1,b_2 \end{align*}$ die Länge 1 haben und senkrecht aufeinander stehen. Ich habe das in meinem ersten Beitrag beschrieben und habe den Verdacht, daß du das als etwas Selbstverständliches angesehen hast. Das ist es aber mitnichten. Vielmehr muß man das nachrechnen. Wenn man etwas Erfahrung hat, sieht man so etwas. Ich hätte aber nicht voraussetzen sollen, daß du diese Erfahrung schon besitzt.

25.01.2016, 17:35

Enomine

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Heydiho,

ich habe von Anfang an Werte für t1 und t2 berechnen wollen. Siehe 20.01.2016 17:19 und 23.01.2016 17:32 und Gestern, 23:32

Weil du sagtest

Zitat:

Hat in $\begin{align*} \mathcal{K} \end{align*}$ ein Punkt $\begin{align*} r \end{align*}$ die Koordinaten $\begin{align*} [t_1,t_2] \end{align*}$ , so hat er im ursprünglichen Koordinatensystem die Koordinaten $\begin{align*} r_1 + t_1b_1 + t_2 b_2 \end{align*}$ .

dachte ich ich müsste t1 und t2 für den Mittelpunkt des Kreises berechnen.

Aber kann es sein, dass das nie meine Aufgabe war?
Jetzt sagst du (t1|t2) liegen ausschließlich auf der Kreisbahn. Das heißt
für alle $\begin{align*} t_1 = [-\infty, \infty] \end{align*}$ und $\begin{align*} t_2 = [-\infty, \infty] \end{align*}$ kann ich mit der Formel $\begin{align*} \left( t_1 - \sqrt{2} \right)^2 + \left( t_2 + 2 \sqrt{2} \right)^2 = 16 \end{align*}$ berechnen OB dieser Punkt zur Kreisbahn gehört oder nicht.

Wenn eine wahre Aussage raus kommt liegt er auf der Kreisbahn, wenn eine falsche Aussage raus kommt dann nicht.

Also (a,b) IST der Kreismittelpunkt? Das war mir zuvor nicht klar. Ich suchte stehts nach t1, t2.

Nun ich denke in der Klausur wird so eine Aufgabe nicht kommen mit Vektoren die nicht Orthogonal sind. Aber zur reinen Information: Wäre eine Aufgabe, bei der b1, b2 nicht Orthogonal sind überhaupt lösbar? Wäre der Lösungsweg ähnlich oder währen völlig andere Methoden nötig?

Coole Zeichnung, mit welchem Programm?

Danke - Enomine

25.01.2016, 17:39

Enomine

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Thread für Teilaufgabe c)
Gleichung des Schnittkreises (Ebene schneidet Kugel)

Danke - Enomine

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