CES-Funktion: Beweis Leontief

21.01.2016, 12:24	hollesch	Auf diesen Beitrag antworten »
CES-Funktion: Beweis Leontief Meine Frage: Hallo Community, ich möchte zeigen, dass $\begin{eqnarray} <br /> y=\gamma\left(\sum_{i=1}^{n} \alpha_i z_i^\rho\right)^\frac1\rho \overset{\rho \to - \infty}{\longrightarrow} \gamma\min\{\alpha_i z_i\|i=1,\ldots,n\}<br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich hab zuerst auf beiden Seiten logarithmiert, den Grenzwert gebildet und l'Hopital angewendet Für $\begin{eqnarray} \gamma = 1 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} <br /> \lim_{\rho \to -\infty}\ln y = \lim_{\rho \to -\infty}\frac{\displaystyle \ln\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i z_i^\rho\right)}{\rho} = \lim_{\rho \to -\infty} \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n \alpha_i z_i^\rho\ln z_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^n \alpha_i z_i^\rho}<br /> \end{eqnarray}$ Danach hab ich wie folgt definiert: $\begin{eqnarray} M = \min\{z_i\|i=1,\ldots,n\} \end{eqnarray}$ und erweitern mit $\begin{eqnarray} M^\rho \end{eqnarray}$ . Falls $\begin{eqnarray} z_i > M \implies \left(\frac{z_i}{M} \right)^\rho \to 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \rho \to -\infty \end{eqnarray}$ und falls $\begin{eqnarray} z_i = M \implies \left(\frac{z_i}{M} \right)^\rho \to 1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \rho \to -\infty \end{eqnarray}$ Daraus hab ich geschlossen, dass der Grenzwert nur existiert, wenn $\begin{eqnarray} z_i= M \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} <br /> \lim_{\rho \to - \infty} \ln y = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n \alpha_i \ln z_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^n \alpha_i} = \ln M<br /> \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} <br /> y=M<br /> \end{eqnarray}$ Aber das ist nicht ganz das, was ich brauche...
21.01.2016, 12:54	hollesch	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} M=\min\{x_i\| i=1,\ldots,n\} \end{eqnarray}$ und ich wie folgt verkette $\begin{eqnarray} \vec{z} \mapsto \begin{pmatrix}\alpha_1 z_1 \\ \vdots \\ \alpha_nz_n \end{pmatrix}\mapsto \vec x \end{eqnarray}$ ist das eine akzeptable Lösung?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »