Ableitung und Integral

21.01.2016, 13:57

MasterWizz

Ableitung und Integral

Hey Leute,

schon wieder scheitere ich an einer ganz simplen Aufgabe, ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Wieso ist:
$\begin{eqnarray*} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int\limits_{-\infty}^{0}\dfrac{1}{\sqrt{t-x}}\, \mathrm{d}x = -\dfrac{1}{\sqrt{t}} \end{eqnarray*}$ ?

Ich hätte gedacht, dass es kein Ergebnis gibt, da das Integral divergiert. Wenn ich die Substitution:
$\begin{eqnarray*} z=(t-x)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

durchführe, dann erhalte ich doch:
$\begin{eqnarray*} 2\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int\limits_{\sqrt{t}}^{\infty}\, \mathrm{d}z \end{eqnarray*}$

Beziehungsweise darf ich denn einfach "unendlich" ableiten? Das Differential ist doch selbst ein Grenzwert und die dürfen untereinander nur vertauscht werden, wenn sie konvergieren, oder?

21.01.2016, 14:24

DrummerS

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung und Integral
Beim Ausrechnen der neuen Integrationsgrenzen ist wohl etwas schiefgelaufen. Wenn du die ursprünglichen Grenzen für x in z(x) einsetzt, was kommt dann raus?
Dann muss das Integral komplett ausgerechnet werden, bevor mit dem Differenzieren begonnen werden kann.

Edit: Möglicherweise nähert sich ein Ausdruck der "Null" Augenzwinkern

21.01.2016, 14:26

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung und Integral
Du hast recht, das Integral und damit die Ableitung danach existieren nicht. Die Musterlösung hat das Differential unerlaubt unters Integral gezogen oder
$\begin{eqnarray*} \lim_{M \to - \infty} \frac { d } {dt } \int_{M}^0 \frac 1 { \sqrt { t-x}} dx \end{eqnarray*}$ berechnet -- aber das war ja nicht die Aufgabe.

21.01.2016, 14:42

MasterWizz

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung und Integral

Zitat:

Original von DrummerS
Beim Ausrechnen der neuen Integrationsgrenzen ist wohl etwas schiefgelaufen. Wenn du die ursprünglichen Grenzen für x in z(x) einsetzt, was kommt dann raus?
Dann muss das Integral komplett ausgerechnet werden, bevor mit dem Differenzieren begonnen werden kann.

Edit: Möglicherweise nähert sich ein Ausdruck der "Null" Augenzwinkern

Wie meinst du das? ^^
Wenn ich 0 einsetze, erhalte ich doch $\begin{eqnarray*} \sqrt{t} \end{eqnarray*}$ und Wenn ich $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ einsetze, erhalte ich $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ . Das Minus (durch die innere Ableitung) habe ich genutzt, um die Integrationsgrenzen zu vertauschen (für die Ordnung).

Wolfram Alpha sagt auch, dass das Ergebnis $\begin{eqnarray*} -\dfrac{1}{\sqrt{t}} \end{eqnarray*}$ ist. Ich weiß aber nicht wieso verwirrt

21.01.2016, 15:25

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Rechnung ist von derselben Qualität, wie wenn man in $\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty} x^k = \frac{1}{1-x} \end{align*}$ für $\begin{align*} x \end{align*}$ den Wert $\begin{align*} -1 \end{align*}$ einsetzt:

$\begin{align*} 1-1+1-1+1-1+- \ldots = \frac{1}{2} \end{align*}$

@ IfindU
Du sprichst von einer "Musterlösung". Was meinst du damit?

@ MasterWizz
Mich würde die genaue Formulierung der Aufgabe interessieren. Vielleicht soll ja gerade getestet werden, ob jemand aufpaßt und nicht einfach einen Kalkül durchzieht, der im konkreten Fall gar nicht erlaubt ist. Und was Wolfram Alpha betrifft: Eine Maschine darf formal arbeiten, ein guter Mathematiker nicht (nur).

21.01.2016, 15:26

DrummerS

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung und Integral
Ok, bei den Integrationsgrenzen hatte ich leider nicht so genau hingeschaut. Schläfer

Ich habe die Aufgabe so begriffen, wie sie IfindU dargestellt hat.
Wenn du $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ einsetzt, wird nachdem Differenzieren ein Ausdruck vernachlässigbar klein, vorausgesetzt $\begin{eqnarray*} t \neq -\infty \end{eqnarray*}$ .

21.01.2016, 15:40

MasterWizz

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau genommen geht es hierbei um die fraktionale Ableitung der Ordnung 0,5 von der Funktion
$\begin{eqnarray*} f(t)=\begin{cases}\mathrm{e}^t&t\geq0\\1&t<0\end{cases} \end{eqnarray*}$

Wenn man diese Funktion mit Hilfe des Caputo Differentialoperators ableitet, ergibt sich als 0,5.-Ableitung (nach Caputo):

$\begin{eqnarray*} \dfrac{\mathrm{d}^{\frac{1}{2}}}{\mathrm{d}t^{\frac{1}{2}}}f(t)=\begin{cases}\mathrm{erf}(\sqrt{t})\cdot \mathrm{e}^{t}&t\geq 0\\0&t<0\end{cases} \end{eqnarray*}$

Alles cool soweit. Jetzt möchte ich das ganze aber mit dem Riemann-Liouville Differentialoperator überprüfen! Über die Grünwald-Letnikow Darstellung des Operators sollte eigentlich folgen, dass im Fall $\begin{eqnarray*} a\rightarrow -\infty \end{eqnarray*}$ , (wobei a die untere Integrationsgrenze ist) der Riemann-Operator identisch ist mit dem Caputo Operator.

Sollte jetzt das obere Integral - um das es hier geht - wirklich das Ergebnis liefern, was Wolfram Alpha behauptet, dann kann ich an dem vorliegenden Beispiel zeigen, dass beide Operatoren im Fall $\begin{eqnarray*} a\rightarrow -\infty \end{eqnarray*}$ identisch sind. Es würde einfach alles so gut passen! Nur leider hab ich wohl zu gut in Analysis aufgepasst, dass ich jetzt weiß, dass man die Grenzwerte nicht vertauschen darf. Ich hoffe nur, dass ich mich irre und jemand mit sagt, dass Wolfram Alpha recht hat Big Laugh

21.01.2016, 17:26

MasterWizz

Auf diesen Beitrag antworten »

Was haltet ihr davon:

$\begin{eqnarray*} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int\limits_{\sqrt{t}}^{\infty}\,\mathrm{d}z = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\lim\limits_{b\rightarrow\infty}(b-\sqrt{t})=\lim\limits_{h\rightarrow0}\lim\limits_{b\rightarrow\infty}\dfrac{b-\sqrt{t+h}-(b-\sqrt{t})}{h}=-\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{\sqrt{t+h}-\sqrt{t}}{h}=-\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\sqrt{t} \end{eqnarray*}$

klingt doch logisch, oder? Hammer

21.01.2016, 17:38

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Pure Definition liefert erst einmal nur

$\begin{eqnarray*} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int\limits_{\sqrt{t}}^{\infty}\,\mathrm{d}z = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\lim\limits_{b\rightarrow\infty}(b-\sqrt{t})=\lim\limits_{h\rightarrow0}\left [\dfrac{ \lim\limits_{b\rightarrow\infty}(b-\sqrt{t+h})- \lim\limits_{b\rightarrow\infty}(b-\sqrt{t})}{h} \right] \end{eqnarray*}$
und der Ausdruck ist eben nicht wohldefiniert. Da kannst du dich drehen und wenden wie du willst. (Eigentlich liefert pure Definition nicht einmal das, sondern noch etwas abstrakteres.)

@Leopold Mit Musterlösung meinte ich im Anfangspost genannte Lösung, auf die der Threadsteller gerade versucht verzweifelt zu kommen -- daher bin ich mal davon ausgegangen, dass es von einer "Autorität" kommt.

21.01.2016, 18:41

MasterWizz

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, vielen Dank für eure Hilfe. Dann verbuche ich das eben als einen Vorteil des Caputo Operators gegenüber dem Riemann Operator smile

Ein schönes Beispiel, dass nicht mal solche Giganten wie Wolfram Alpha immer recht haben.

Neue Frage »

Antworten »

Ableitung und Integral

Verwandte Themen