Kritische Punkte bestimmen

21.01.2016, 17:13

AWarriorsComeback_2

Kritische Punkte bestimmen

Meine Frage:
Hallo,

betrachten Sie die Funktion
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R -> \mathbb R ^{3} , f(t) = \begin{pmatrix} sin(t) \\ cos(t) \\ t^{2} + t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Bestimmen Sie die kritischen Punkte der Geschwindigkeit $\begin{eqnarray*} | f'(t) | \end{eqnarray*}$ .

Beschreiben Sie das qualitative Verhalten der Kurve, die durch f parametrisiert wird.

Meine Ideen:
Zunächst leite ich die Ausgangsfunktion ab und bin bei
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos(t) \\ -sin(t) \\ 2t+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Dann berechne ich $\begin{eqnarray*} | f'(t) | = \sqrt{4t^{2}+4t+2 } \end{eqnarray*}$ (schon vereinfacht; Mit cos^2+sin^2=1). Um davon die kritischen Punkte zu bestimmen, muss ich es ja nochmal ableiten, stimmts? Das muss dann gleich Null gesetzt werden. liege ich soweit richtig oder hab ich irgendwo Denkfehler?

Kann mir jemand einen kleinen Tipp geben, wie ich an den zweiten Teil der Aufgabe rangehe?

Danke!

21.01.2016, 20:24

moody_ds

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~~Das sieht soweit erstmal okay aus.~~ Kann dir mehr dazu sagen wenn ich zu Hause bin.
Zur 2 würde ich sagen dass das eine Art Spirale ergeben müsste. Sieht nach dem Einheitskreis aus für und x und y und mit z müsste es dann eine Art Spirale werden.

Ich kann auch völlig auf den Holzweg sein da Parameter Darstellungen jetzt nicht mein spezial Gebiet sind. Ich komme alle Jubeljahre mal damit in Kontakt.

~~Ich denke mal da die Aufgaben in der Reihenfolge gestellt sind, kann der erste Teil wohl in der Parameter Form bearbeitet werden.~~

[attach]40548[/attach]

so viel schonmal zur 2. Aber wenn ich mir das jetzt so angucke kann ich keine kritische Punkte entdecken. Nach allem was ich jetzt dazu gelesen habe, müsste das Punkte sein an denen der Gradient der Funktion verschwindet, danach sieht es aber imho nicht aus. Oder ich verstehe die Aufgabe falsch Hammer

22.01.2016, 09:59

AWarriorsComeback_2

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Danke erstmal für die ausführliche Antwort!

An eine Art Spirale hatte ich auch schon gedacht, war mir aber nicht ganz sicher, wie sich das t^2+t auswirkt.

Was die kritischen Punkte angeht, war so wie ich das sehe nach den kritischen Punkten der Geschwindigkeit gefragt. Also m.E. müsste man dann erstmal ableiten und den Betrag des neuen Vektors berechen (s.o.) und dann davon die kritischen Punkte berechnen?

Bei der Spirale wäre wohl, wenn überhaupt, bei (0,1,0), also beim Anfang, ein kritischer Punkt, oder?

Wäre für weitere Anregungen dankbar!

22.01.2016, 11:55

klauss

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Wenn man die kritischen Punkte der Geschwindigkeit gleichbedeutend mit den Nullstellen deren Ableitung interpretiert (womit ich wohl nicht wirklich falsch liege), mußt Du tatsächlich den Wurzelausdruck ableiten und Null setzen. Das ist ja schlichtes Differenzieren in einer Variablen. Bei dem Wert von t, den man dann erhält, handelt es sich um ein Minimum, nämlich genau an der Stelle, an der die Kurve ihr absolutes Minimum in z-Richtung annimmt. An dieser Stelle verschwindet somit die z-Geschwindigkeitskomponente bzw. wechselt von Minus nach Plus und der Betrag der Geschwindigkeit wird ebenfalls minimal.
Aus der obigen Graphik ist das aufgrund der Skalierung der z-Achse natürlich nicht erkennbar, Du solltest Dir die Kurve nochmal mit einem Online-Plotter in einer Umgebung um den kritischen t-Wert anschauen.

22.01.2016, 11:55

moody_ds

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Dadurch dass du den Betrag berechnet hast du nur noch einen Skalar. Von dieser Funktion kannst du dann dir kritischen Punkte bestimmen, das wäre $\begin{eqnarray*} t=-1/2 \end{eqnarray*}$ .
Da fehlt mir aber irgendwie der Zusammenhang deiner Kurve. Könnte mit höchstens erklären dass man sagt gut, ich habe die Kurve, definiere jetzt eine Geschwindigkeit so und berechne eben wann diese verschwindet.
Ich hab die Kurve jetzt nur ab 0 gezeichnet. Du kannst aber leicht rechnen dass die Kurve dort auch noch eine Steigung hat.

Vielleicht schaltet sich hier noch jemand ein der mehr Ahnung hat? smile

Danke klauss Gott

Ich hatte bei wikipedia gelesen dass der Gradient verschwindet. Dementsprechend hätte ich mit

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial z} = 0 \end{eqnarray*}$

gerechnet.

[attach]40552[/attach][attach]40553[/attach]

Aber so kommen wir ja sogar auch eine sinnvolle Lösung denke ich.

22.01.2016, 16:01

klauss

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Zitat:

Original von moody_ds
Ich hatte bei wikipedia gelesen dass der Gradient verschwindet.

Dort steht aber auch, dass der Gradient auf skalare Funktionen angewendet wird. Bei der Kurve handelt es sich aber um eine vektorwertige Funktion. Augenzwinkern

22.01.2016, 16:16

HAL 9000

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Zitat:

Original von klauss
Wenn man die kritischen Punkte der Geschwindigkeit gleichbedeutend mit den Nullstellen deren Ableitung interpretiert (womit ich wohl nicht wirklich falsch liege), mußt Du tatsächlich den Wurzelausdruck ableiten und Null setzen.

Man kann auch ohne weiteres Differenzieren erkennen, zu welchem Zeitpunkt das geschieht, denn $\begin{align*} |f'(t)|=\sqrt{(2t+1)^2+1} \end{align*}$ sieht man strukturell direkt an, dass bei $\begin{align*} t=-\frac{1}{2} \end{align*}$ ein Betragsminimum 1 der Geschwindigkeit vorliegt,

22.01.2016, 16:28

klauss

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Grundsätzlich war mir schon klar, dass die Wurzel minimal wird, wenn das, was druntersteht, minimal wird, wollte aber den Formalismus der Lösung nicht durch Nebenüberlegungen ablenken.
Alternativ hätte man ja auch nur den Radikanden allein ableiten können.

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