Differentialgleichung lösen

21.01.2016, 17:19

hallohallo121

Differentialgleichung lösen

Meine Frage:
Aufgaben:

[attach]40537[/attach]

Meine Ideen:
Was sind ist das für ein Art von Differentialgleichung? 1. Ordnung?
Ist das Lösungsschema bei allen Aufgaben das selbe?
Ich bräuchte vor allem mal ein Beispiel für eine der Aufgaben. Oder ein Muster, wie man vorgehen muss.

21.01.2016, 17:38

Mathema

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Zitat:

Was sind ist das für ein Art von Differentialgleichung? 1. Ordnung?

Ja - oder siehst du irgendwo eine 2. Ableitung?

Zitat:

Ist das Lösungsschema bei allen Aufgaben das selbe?

Eher nicht.

Zitat:

Ich bräuchte vor allem mal ein Beispiel für eine der Aufgaben. Oder ein Muster, wie man vorgehen muss.

Das wird dir nichts bringen. Ich schlage vor, du suchst du mir mal eine Gleichung aus und schreibst deine Ideen / Vorwissen dazu auf. Dann lösen wir die Aufgabe zusammen. Für weitere Gleichungen kannst du dann einen neuen Thread eröffnen.

21.01.2016, 18:18

hallohallo121

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ich nehme einfach mal Aufgabe 7a (SS 2007 unten)

Ich habe da in der Vorlesung kein Wort verstanden und habe versucht über Google ein bisschen was rauszufinden aber ich finde das ganze Thema sehr verwirrend und unübersichtlich.

Muss ich hier nun die Gleichung so auflösen dass y`alleine auf einer Seite steht?
Welches Verfahren muss hier angewendet werden?

21.01.2016, 18:26

Mathema

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Hier kannst du deine Variablen einfach trennen. Kennst du das Verfahren? Wenn ja - leg los.

21.01.2016, 18:51

hallohallo121

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okay also muss ich erstmal y' auf eine seite bringen

als erstes das ganze /2 teilen:
$\begin{eqnarray*} y'\sqrt{x}=\frac{y}{2} \end{eqnarray*}$
nun noch Wurzel x auf die andere Seite
$\begin{eqnarray*} y`=\frac{y}{2}-\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{y}{2}dy=\sqrt{x}*dx \end{eqnarray*}$

stimmt soweit zumindest der ansatz?

21.01.2016, 19:05

Mathema

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Zitat:

okay also muss ich erstmal y' auf eine Seite bringen

Nö.

Zitat:

als erstes das ganze /2 teilen:

Unnötig.

Zitat:

nun noch Wurzel x auf die andere Seite
$\begin{eqnarray*} y`=\frac{y}{2}-\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

Das ist ein Fehler, der einfach nicht mehr passieren darf, wenn man schon so weit ist, dass man sich mit DGL's beschäftigen soll! Du kannst doch nicht ein Produkt auflösen, indem du einen Faktor subtrahierst. geschockt

Zitat:

dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{y}{2}dy=\sqrt{x}*dx \end{eqnarray*}$

Wie du dann darauf kommst, ist mir ein Rätsel.

Du siehst - da passt leider überhaupt nichts...

Also mal langsam:

$\begin{eqnarray*} 2y'\sqrt{x}=y \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} 2\frac{\dd y}{\dd x}\sqrt{x}=y \end{eqnarray*}$

Umgestellt:

$\begin{eqnarray*} \frac{2\dd y}{y}=\frac{\dd x}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

Nun wird integriert.

21.01.2016, 19:26

hallohallo121

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oh okay

also ich versuch weiterzumachen:

1.Integral:

2ln(y)

2. Integral:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x^\frac{3}{2} }{3} +c \end{eqnarray*}$

nun noch die Rücksubstituion:

2*ln(y)= $\begin{eqnarray*} \frac{2x^\frac{3}{2} }{3} +c \end{eqnarray*}$
e^ln(y)=e^ $\begin{eqnarray*} \frac{2x^\frac{3}{2} }{3} +c \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

In der Aufgabenstellung steht noch ein Startwert wo muss man diesen EInsetzen? Schon beim Integrieren?

21.01.2016, 19:35

Mathema

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Zitat:

1.Integral:

2ln(y)

Besser: $\begin{eqnarray*} 2\ln|y| \end{eqnarray*}$

Zitat:

2. Integral:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x^\frac{3}{2} }{3} +c \end{eqnarray*}$

Das stimmt nicht, deine Wurzel steht im Nenner. Da musst du noch mal ran also.

Zitat:

nun noch die Rücksubstitution:

Was haben wir denn substituiert? verwirrt

Deine folgende Umformung stimmt wieder nicht. Du solltest anscheinend dringend einfache Äquivalenz- und Termumformung üben / wiederholen.

Zitat:

In der Aufgabenstellung steht noch ein Startwert wo muss man diesen EInsetzen? Schon beim Integrieren?

Nein - das kommt zum Schluss. Ich weiß aber nicht, wie der Anfangswert zu verstehen ist. Bedeutet (1,1) nun $\begin{eqnarray*} y(1)=1 \end{eqnarray*}$ ? Vielleicht haben wir ja Glück und uns hilft noch jemand.

21.01.2016, 19:44

hallohallo121

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hab ich nicht noch beim 1. Integral das +c vergessen?

Was macht das denn für einen Unterschied bei der 2. Integration? Wurzel x bleibt doch das Ergebnis was integriert werden soll?

Ist das ganze was ich bei der Rücksubstition geschrieben habe also unnötig oder stimmt der Ansatz?

Was genau ist da falsch?

Ich denke mal das der Anfangswert y(1)=1 heist, ist bei den anderen Aufgaben auch so.

21.01.2016, 19:49

Mathema

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Zitat:

hab ich nicht noch beim 1. Integral das +c vergessen?

Das macht nichts.

Zitat:

Was macht das denn für einen Unterschied bei der 2. Integration? Wurzel x bleibt doch das Ergebnis was integriert werden soll?

Wo ist da denn der Sinn? Es ist doch nun auch ein Unterschied, ob ich $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ integrieren soll.

Zitat:

Ist das ganze was ich bei der Rücksubstition geschrieben habe also unnötig oder stimmt der Ansatz?

Das gucken wir uns an, wenn du die richtige Stammfunktion gefunden hast. Einverstanden?

21.01.2016, 19:55

hallohallo121

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achso, ich muss also 1/Wurzel X integrieren?

Das wäre ja dann $\begin{eqnarray*} 2\sqrt{x} +c \end{eqnarray*}$

richtig? smile

21.01.2016, 20:02

Mathema

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Hast du dir nicht meine Gleichung angeguckt?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{2\dd y}{y}=\frac{\dd x}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

Das ist richtig.

Also lautet deine Gleichung nun:

$\begin{eqnarray*} 2\ln|y|=2\sqrt{x}+c \end{eqnarray*}$

Nun nach y auflösen.

21.01.2016, 20:07

hallohallo121

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gut.

Auflösen nach y:

y= $\begin{eqnarray*} \frac{2*\sqrt{x}+c }{2ln} \end{eqnarray*}$

21.01.2016, 20:14

Mathema

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Da bin ich nun erstmal sprachlos...

Überlege bitte noch mal in Ruhe, was du mir da gerade präsentiert hast.

21.01.2016, 20:28

hallohallo121

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muss ich da gleich die e funktion anwenden?

$\begin{eqnarray*} 2y=2\sqrt{x} +c \end{eqnarray*}$

durch 2 teilen

$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{x} +c \end{eqnarray*}$

21.01.2016, 20:30

Bjoern1982

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Warum gerade an dieser Stelle sprachlos ?

Man hat ja eigentlich schon vorher gesehen, dass (leider) keinerlei Grundlagen vorhanden sind.
Von daher finde ich es fraglich, ob man sich dann überhaupt zu diesem Zeitpunkt (aus Sicht des Fragestellers) solchen Aufgaben widmen sollte... verwirrt

21.01.2016, 20:32

Mathema

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l und n sind doch keine Variablen, durch die du einfach dividieren kannst, und die anschließend ohne Argument wieder auftauchen.

Natürlich musst du die Umkehrfunktion anwenden. Deine Division durch 2 kannst du auch erst durchführen.

$\begin{eqnarray*} 2\ln|y|=2\sqrt{x}+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln|y|=\sqrt{x}+c \end{eqnarray*}$

Nun die e-Funktion bemühen.

21.01.2016, 20:45

hallohallo121

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Das wäre dann |y| = $\begin{eqnarray*} e^{\sqrt{x} +c} \end{eqnarray*}$
richtig?

21.01.2016, 20:56

Mathema

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Ja - wobei die Betragsstriche nun natürlich nicht mehr dort stehen. Zudem kannst du noch ein Potenzgesetz bemühen. Es ist also:

$\begin{eqnarray*} y(x)=ce^{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

Sofern die Anfangsbedingung so zu verstehen ist, wie ich es interpretiere (ich kenne die Notation nicht), setzen wir nun ein:

$\begin{eqnarray*} 1=ce^{\sqrt{1}}=ce \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c=e^{-1} \end{eqnarray*}$

Und somit:

$\begin{eqnarray*} y(x)=e^{\sqrt{x}-1} \end{eqnarray*}$

Eigentlich gibt es hier keine Komplettlösungen (ich bezweifle auch, dass sie dir was nützt), ich habe sie dir dennoch mal hingeschrieben, da ich es genauso sehe wie Björn:

Du solltest dich dringend erstmal mit einfacher Schulmathematik näher beschäftigen und üben / wiederholen. Da fehlen dir viel zu viele Grundlagen. Wenn du diese Lücken geschlossen hast, dann kannst du dich auch wieder an solch einfachen DGL's versuchen. So hat es gerade leider wenig Sinn.

Wink

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