Darstellungsarten von Vektoren in der Ebene

21.01.2016, 19:04

DannyNRW

Darstellungsarten von Vektoren in der Ebene

Ich habe gesehen, dass es folgende Darstellungsarten für Vektoren gibt:

Koordinatenform:
ax1 + bx2 + cx3 = d

Soweit klar... eine Frage allerdings: Was genau gibt hier "d" an?

Parameterform:
$\begin{eqnarray*} E: \vec{x} = \vec {a} + \lambda * \vec {u} + \end{eqnarray*}$ µ $\begin{eqnarray*} * \vec{v} \end{eqnarray*}$

Normalenform:

$\begin{eqnarray*} \left[\vec{x} -\begin{pmatrix} P1 \\ P2 \\ P3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} n1 \\ n2 \\ n3 \end{pmatrix} = 0 \right] \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich diese Form hier gegeben:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} * \vec{x} -27 =0 \end{eqnarray*}$

Sieht für mich am ehesten nach der Normalenform aus, richtig?

Ist die -27 in diesem Fall bereits der gebildete Betrag des Normalenvektors?
Also : $\begin{eqnarray*} \sqrt{n1²+n2²+n3²} \end{eqnarray*}$

21.01.2016, 20:06

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Darstellungsarten von Vektoren in der Ebene
sind eher Darstellungsarten von EBENEN Augenzwinkern

d ist der (NICHT) normierte Abstand von O.

letzte Frage: Normalvektorform Freude

, Rest siehe oben

21.01.2016, 20:26

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Erwähnt werden sollte noch, dass die rechte eckige Klammer in der Normalenform oben zu weit rechts sitzt. Sie müsste vor dem Normalenvektor stehen.

21.01.2016, 22:05

DannyNRW

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt Helferlein, ich hab den Ausdruck falsch zusammengesetzt, daher hier nochmal richtig:

$\begin{eqnarray*} \left[\vec{x} -\begin{pmatrix} P1 \\ P2 \\ P3 \end{pmatrix} \right] * \begin{pmatrix} n1 \\ n2 \\ n3 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Die Darstellung der beiden folgenden Ebenen macht mich kirre... Wo ist der Unterschied oder gibt es keinen?

$\begin{eqnarray*} \left[\vec{x} -\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} \right] * 27 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} * \vec{x} -27 =0 \end{eqnarray*}$

Im untersten Ausdruck ist (3/-2/-6) doch der Ortsvektor oder nicht?
Und was genau ist nun die -27?

21.01.2016, 22:20

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von DannyNRW
Stimmt Helferlein, ich hab den Ausdruck falsch zusammengesetzt, daher hier nochmal richtig:

$\begin{eqnarray*} \left[\vec{x} -\begin{pmatrix} P1 \\ P2 \\ P3 \end{pmatrix} \right] * \begin{pmatrix} n1 \\ n2 \\ n3 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Die Darstellung der beiden folgenden Ebenen macht mich kirre... Wo ist der Unterschied oder gibt es keinen?

$\begin{eqnarray*} \left[\vec{x} -\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} \right] * 27 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} * \vec{x} -27 =0 \end{eqnarray*}$

Im untersten Ausdruck ist (3/-2/-6) doch der Ortsvektor oder nicht?
Und was genau ist nun die -27?

multpliziere doch einfach aus:

nr.1 $\begin{eqnarray*} 27x+27y+27z-27\cdot(3-2+6)=0 \end{eqnarray*}$

der NORMIERTE Richtungsvektor ist also

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{27\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} \to d=\frac{27(3-2+6)}{27\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

nr.2
nein, das ist ein NORMALENvektor der Ebene, also

$\begin{eqnarray*} d=\frac{27}{7} \end{eqnarray*}$

mit d = (orientierter) Normalabstand der Ebene von O

21.01.2016, 22:40

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von DannyNRW
$\begin{eqnarray*} \left[\vec{x} -\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} \right] * 27 = 0 \end{eqnarray*}$

Hast Du hier etwas vergessen? Ansonsten würde ich die Darstellung anzweifeln, denn links steht das 27-fache eines Vektor, rechts eine Zahl. Sollte die Null ebenfalls ein Vektor sein, dann wäre es eine Vektorgleichung ohne Bezug zur Ebene. (Nämlich die Aussage, dass x dem angegebenen Vektor entspricht)

(Sorry riwe, wenn ich mich hier schon wieder einmische, aber ich denke so etwas sollte einfach nicht unkommentiert übergangen werden)

21.01.2016, 22:47

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

aber natürlich hast du recht, da habe ich nicht genau genug hingesehen, fürchte ich unglücklich

den 27er-vektor gibt´s wohl nicht

22.01.2016, 09:29

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme mal eher auf die letzte Darstellung zurück:

Zitat:

Original von DannyNRW
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} * \vec{x} -27 =0 \end{eqnarray*}$

Das ist nur die Vektorschreibweise der eingangs erwähnten Koordinatenform $\begin{align*} ax_1+bx_2+cx_3=d \end{align*}$ :

Das Skalarprodukt links ausgeführt bekommt man nämlich $\begin{align*} 3x_1-2x_2+6x_3-27=0 \end{align*}$ bzw. die Konstante nach rechts geschafft $\begin{align*} 3x_1-2x_2+6x_3=27 \end{align*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Darstellungsarten von Vektoren in der Ebene

Verwandte Themen