Lax-Milgram auf Reynoldsgleichung angewendet

21.01.2016, 20:02	Jason Saruulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Lax-Milgram auf Reynoldsgleichung angewendet Meine Frage: Hallo Leute, für ein Seminar soll ich für die Reynoldsgleichung die schwache Formulierung herleiten und daraufhin das Lax - Milgram Lemma anwenden, um die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung zu gewährleisten. Meine Ideen: Die stationäre Reynoldsgleichung lautet $\begin{eqnarray} <br /> (v \nabla) v = - \frac{\nabla p}{\rho} + \eta * \triangle v + \frac{f}{\rho}<br /> \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} <br /> v = v(x, y, z)<br /> p = p(x, y, z)<br /> f = f (x, y, z)<br /> \eta = konstant<br /> \rho = konstant.<br /> \end{eqnarray}$ Hierbei bezeichnen v die Geschwindigkeit, p den Druck, eta die Viskosität und rho die Dichte. Als erstes bringe ich alle v auf eine Seite. Nun multiplizieren wir beide Seiten mit einer Testfunktion h, die unendlich oft stetig differenzierbar ist und dessen Funktionswerte auf dem Rand des betrachteten Gebiets verschwinden. $\begin{eqnarray} <br /> ((v * \nabla) v - \eta * \triangle v) * h = (- \frac{\nabla p}{\rho} + \frac{f}{\rho}) * h<br /> \end{eqnarray}$ Nun integrieren wir beide Seiten über den gesamten Zustandsraum. $\begin{eqnarray} <br /> \int_\Omega((v * \nabla) v - \eta * \triangle v) * h = \int_\Omega(- \frac{\nabla p}{\rho} + \frac{f}{\rho}) * h<br /> \end{eqnarray}$ Die linke Seite muss nun partiell integriert werden, wobei dabei ein Term wegfällt, da die Randwerte der Testfunktion h verschwinden. Allerdings brauche ich hier eine Darstellung einer Stammfunktion von $\begin{eqnarray} <br /> \int_\Omega((v * \nabla) v - \eta * \triangle v)<br /> \end{eqnarray*}$ um die partielle Integration vollständig durchführen zu können. Und genau hier entsteht (schon) die Problematik. Hier meine Fragen: Wie sieht eine solche Stammfunktion aus ? Ist diese überhaupt zwingend notwendig ? Was geschieht mit der rechten Seite ? Wird diese nicht partiell integriert ? Wie wendet man, falls man dies geschafft hat, das Lemma von Lax - Milgram an ? Ich wäre für jeden Tipp/Hinweis dankbar.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »