Problem bei Vektorrechnung: Abstand Punkt/Ebene

22.01.2016, 09:43	DannyNRW	Auf diesen Beitrag antworten »
Problem bei Vektorrechnung: Abstand Punkt/Ebene Guten Morgen zusammen Hab hier folgende Aufgabe: $\begin{eqnarray} E: \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \vec{x} - 9 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P (5\|1\|12) \end{eqnarray}$ Gesucht ist der Abstand vom Punkt zur Ebene und dazu erstmal mein Lösungsweg: $\begin{eqnarray} \sqrt{1² + 2² + 2² } = 3 \end{eqnarray}$ (Ebene E wird durch 3 dividiert) $\begin{eqnarray} E: \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix} * \vec{x} - \frac{9}{3} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g: \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 12 \end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix} * \left[ \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 12 \end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix} \right] - \frac{9}{3} = 0 \end{eqnarray}$ Klammer ausmultiplizieren: $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} * 5 = \frac{5}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -\frac{2}{3} * 1 = -\frac{2}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{2}{3} * 12 = \frac{24}{3} \end{eqnarray}$ Gleichung aufstellen: $\begin{eqnarray} \frac{5}{3} -\frac{2}{3} + \frac{24}{3} + \lambda -\frac{9}{3} = 0 \end{eqnarray*}$ Nach lambda umgestellt, ergibt das ganze - 18/3. Laut Aufgabenblatt kommt als Ergebnis 6 heraus. Bei mir ist also anscheinend nur noch das Vorzeichen falsch. Ich habe das ganze bis zum jetzigen Stand durch herumprobieren hinbekommen und nun meine Fragen dazu: 1.) Klammer ausmultiplizieren ist soweit richtig, wie bei mir geschehen? 2.) Sind meine weiteren Schritte danach richtig oder muss ich da etwas anders machen? 3.) Wie komme ich auf das richtige Vorzeichen des Ergebnisses?
22.01.2016, 09:58	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum gehst du so kompliziert vor, mit dieser Geradengleichung durch P ? Nachdem du die HNF $\begin{align} \vec{n}\cdot \vec{x}-d=0 \end{align}$ der Ebene $\begin{align} E \end{align}$ aufgestellt hast, gibt doch $\begin{align} \vec{n}\cdot \vec{p}-d \end{align}$ für einen Ortsvektor $\begin{align} \vec{p} \end{align}$ direkt den Abstand zur Ebene an. Klar, es können da positive wie negative Werte herauskommen: Positiv bedeutete, der Punkt befindet sich auf der Seite der Ebene, wo der Normalenvektor hinzeigt, negativ entsprechend die andere Seite. Wenn es nur um den Abstand geht, ist der Betrag dieses Wertes zu nehmen. Im vorliegenden Fall mit deiner HNF $\begin{align} E:\quad \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix} \cdot \vec{x} - 3 = 0 \end{align}$ bedeutet das mit dem Punkt $\begin{align} \vec{p} = \begin{pmatrix} 5\\ 1\\ 12\end{pmatrix} \end{align}$ einfach $\begin{align} \vec{n}\cdot \vec{p}-d = 6 \end{align}$ . EDIT: Dein Ansatz mit der Geraden $\begin{align} g \end{align}$ ist dazu geeignet, nicht nur den Abstand von $\begin{align} E \end{align}$ , sondern auch noch den genauen Lotfußpunkt auf $\begin{align} E \end{align}$ zu bestimmen, wenn von $\begin{align} P \end{align}$ aus dieses Lot auf $\begin{align} E \end{align}$ gefällt wird. War hier aber nicht gefragt (steht zumindest nicht da), weswegen dein Ansatz etwas "überdimensioniert" ist.
22.01.2016, 12:10	DannyNRW	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz einfach, ich wusste nicht, was ich da mache, wenn man das so sagen darf... Mittlerweile weiß ich, dass ich einfach nur (51) - (21) + (12*2) - 9 durch die Wurzel aus 1² + 2² + 2² dividieren muss und somit auf's Ergebnis komme. Hatte eben einen Aufgabenzettel, an den ich mich gehalten habe. Eine schwere Geburt

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