Differentialgleichungen

22.01.2016, 16:11

beetle09

Differentialgleichungen

Hallo liebe Freunde,
ich sitze mal wieder an Mathe und habe ein paar Fragen an euch.

Die erste bezieht sich auf die Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} x \cdot y \cdot (1+x^2) \cdot y' = 1 + y^2,\quad y(1)=1\ \text{und}\ (x>0) \end{eqnarray*}$ .
Da es sich hier um eine DGL 1.Ordnung handelt habe ich in meinem Leichtsinn versucht sie Trennung der Variablen zu lösen. Da fangen die Probleme aber auch schon an. Zuerst würde ich die Terme $\begin{eqnarray*} (1+x^2) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auf die andere Seite holen. Dann wüsste ich aber auch schon nicht mehr weiter, wie ich das y' alleine auf eine Seite bringen kann, darf ich einfach so durch y teilen? Dies ginge nur für den Fall, dass y!=0 ist, kann ich das einfach annehmen? Oder wie müsste eine Fallunterscheidung hier aussehen? Ich kann mir aber auch denken, dass ich gerade total auf dem falschen Dampfer bin...

Die zweite Frage geht um die Aufgabe $\begin{eqnarray*} y''+4y'+13y=27 e^{-2x} \end{eqnarray*}$ . Hierfür habe ich bereits die allgemeine Lösung $\begin{eqnarray*} y(x) = c_1 e^{-2x} sin{3x} + c_2 e^{-2x} cos{3x} \end{eqnarray*}$ . Weiter habe ich jetzt die allgemeine Lösung zwei Mal abgeleitet und dann mit eingesetzt. Da kommen jetzt aber ellenlange Terme mit cos und sin raus, wo ich ehrlich gesagt ein wenig auf dem Schlauch stehe, wie ich da weiter komme.
$\begin{eqnarray*} y'(x) = e^{-2 x} ((-2 c_1-3 c_2) sin(3 x)+(3 c_1-2 c_2) cos(3 x)) \\<br /> y''(x) = e^{-2 x} (c_2 (12 sin(3 x)-5 cos(3 x))-c_1 (5 sin(3 x)+12 cos(3 x)))<br /> \end{eqnarray*}$

Vielen Dank schon mal, für eure Vorschläge!

22.01.2016, 16:31

mYthos

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Zu 2)

Ansatz für part. Lösg:
$\begin{eqnarray*} y_p = k e^{-2x} \end{eqnarray*}$

mY+

22.01.2016, 16:39

Mathema

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Zu 1)

Das sieht mir nach einer Bernoulli DGL aus.

Wink

22.01.2016, 16:51

mYthos

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Zu 1)
Die Trennung der Variablen funktioniert doch ohnehin!
y ' alleine ausrechnen ist nicht zielführend, sondern es sind alle Terme in y und y ' (auf der linken Seite) zu vereinen.
Dann ist

$\begin{eqnarray*} \frac{y}{1+y^2}y' = \frac 1 {x(1+x^2)} \end{eqnarray*}$

Was begehrst du mehr?
Links und rechts integrieren, c nicht vergessen und gut ist es.

mY+

22.01.2016, 17:46

beetle09

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Vielen Dank schon mal für eure Hilfe!

Wenn ich bei Aufgabe 1 dann rechts und links integriere kommt dann folgendes raus?
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}y' \cdot ln(y^2+1) = ln(x) - \frac{1}{2} ln(x^2+1) +c \end{eqnarray*}$
Habe auf der linken Seite das y' als konstanten Faktor aus dem Integral rausgezogen und bei dem Rest steht dann ja im Zähler die Ableitung des Nenner -> also ln(...). Normalerweise würde ich da jetzt die e-Funktion drauf anwenden, aber ich habe auf der linken Seite noch ein y' stehen? Hammer

Und zu 2:
Ach so, der Ansatz war mir entfallen, danke dafür! Das heißt ich hätte dann
$\begin{eqnarray*} 4ke^{-2x}-8ke^{-2x}+13ke^{-2x}=27e^{-2x} \\<br /> => k=3 \end{eqnarray*}$
Also wäre meine Lösung folgendes?
$\begin{eqnarray*} c_1 e^{-2x} sin(3x) + c_2 e^{-2x} cos(3x) + 3 e^{-2x} \end{eqnarray*}$

22.01.2016, 17:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von beetle09
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}y' \cdot ln(y^2+1) = ln(x) - \frac{1}{2} ln(x^2+1) +c \end{eqnarray*}$
Habe auf der linken Seite das y' als konstanten Faktor aus dem Integral rausgezogen

Das $\begin{align*} y' \end{align*}$ "verschwindet" bereits bei Integrieren bzgl. $\begin{align*} x \end{align*}$ , d.h., es steht nach dem Integrieren

$\begin{align*} \frac{1}{2}\ln(y^2+1) = \ln|x| - \frac{1}{2}\ln(x^2+1) + c \end{align*}$

da, d.h. mit 2 multipliziert und exponenziert $\begin{align*} y^2+1 = C_2\cdot \frac{x^2}{x^2+1} \end{align*}$ .

22.01.2016, 18:50

beetle09

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Wieso verschwindet das y' denn bei der Integration? Habe das Gefühl das noch nicht ganz verstanden zu haben, mit der Integration nach y(x).. traurig

Aber das heißt, dass ich als Lösung folgendes rauskriegen würde:
$\begin{eqnarray*} y(x)= sqrt((c \ cdot \frac{x^2}{x^2+1}) -1) \end{eqnarray*}$
Wolframalpha sagt allerdings, dass das hier rauskommen sollte:
$\begin{eqnarray*} y(x) = \frac{sqrt(c x^2-x^2-1)}{sqrt(x^2+1)} \end{eqnarray*}$
So wie ich das sehe ist in letzterer Lösung ein $\begin{eqnarray*} -x^2 \end{eqnarray*}$ mehr als in "meiner". Wie kommt das? Gott

22.01.2016, 20:39

klauss

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Zitat:

Original von beetle09
Wieso verschwindet das y' denn bei der Integration?

Mit dem Hinweis von Mythos schreibt man doch weiter
$\begin{eqnarray*} \frac{y}{1+y^2}y' = \frac 1 {x(1+x^2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{y}{1+y^2}\frac{dy}{dx} = \frac 1 {x(1+x^2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{y}{1+y^2}dy = \frac 1 {x(1+x^2)}dx \end{eqnarray*}$

und, da dieser Umgang mit dem Differentialquotienten bei Mathematikern etwas anrüchig ist, umgehend
$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{y}{1+y^2} \, dy=\int \! \frac 1 {x(1+x^2)} \, dx \end{eqnarray*}$

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