Winkel zwischen zwei Vektoren, nur Beträge gegeben

22.01.2016, 16:28	Navira	Auf diesen Beitrag antworten »
Winkel zwischen zwei Vektoren, nur Beträge gegeben Meine Frage: Hallo zusammen, ich schreibe am Montag meine Mathe-I-Klausur und bin beim Durchgehen der alten Klausuren bei einer Aufgabe zu Vektoren hängengeblieben, bei der ich nicht weiß wie man auf die Lösung kommt. Ich hoffe jemand von euch kann mir helfen Die Aufgabe lautet: Welchen Winkel Alpha schließen die Vektoren a und b (R³) ein, wenn sie die Eigenschaften Betrag von a = 3, Betrag von b=2 und (2a+3b) steht senkrecht zu (a-b) besitzen? Meine Ideen: da (2a+3b) steht senkrecht zu (a-b)ist, weiß man ja, dass (2a+b)*(a-b)=0 sein muss. Aber ich weiß nicht wirklich, wie mich das weiterbringt...
22.01.2016, 16:33	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{align} \cos(\angle (a,b)) = \frac{a\cdot b}{\|a\|\cdot \|b\|} \end{align}$ . Die Beträge im Nenner kennst du schon, du musst nur noch an den Wert des Skalarprodukts $\begin{align} a\cdot b \end{align}$ kommen. Keine Idee, wie das über $\begin{align} (2a+3b)\cdot (a-b) = 0 \end{align}$ zu bewerkstelligen ist? Das Skalarprodukt ist bilinear, d.h. du kannst wie im reellen gewohnt "ausmultiplizieren"...
22.01.2016, 16:59	Gast2065	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt hab ich es raus. Danke. Stand ein bisschen auf dem Schlauch. Hatte nicht dran gedacht, dass das so einfach geht mit dem Ausmultiplizierten
05.11.2017, 12:23	Blaueluise	Auf diesen Beitrag antworten »
Könntest du bitte die komplette Lösung hinzufügen, komme nach dem ausmultiplizieren nicht weiter. danke
05.11.2017, 13:48	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachdem du ausmultipliziert hast, bedenke noch $\begin{eqnarray} \|x\|=\sqrt{x\cdot x} \end{eqnarray}$ . Damit bekommst du eine einfache Gleichung für $\begin{eqnarray} a\cdot b \end{eqnarray}$ , also für den Zähler. der Nenner ist ja schon bekannt, also hast du den Cosinus des Winkels. Dass das Skalarprodukt symmetrisch ist, ist dir ja sicher bekannt, wenn nicht, dann weißt du es jetzt.
05.11.2017, 18:10	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Und hier des Rätsels Lösung für alle faulen Ameisenbären: Beachte die Symmetrie des Sklarprodukts $\begin{eqnarray} a\cdot b=b\cdot a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=(2a+3b)\cdot (a-b)=2a\cdot a+a\cdot b-3b\cdot b \end{eqnarray}$ Wegen der Definition des Betrages (= euklidischer Norm) $\begin{eqnarray} \|x\|=\sqrt {x\cdot x} \end{eqnarray}$ folgt daraus $\begin{eqnarray} a\cdot b=3b\cdot b-2a\cdot a=12-18=-6 \end{eqnarray}$ Damit berechnen wir den Cosinus $\begin{eqnarray} cos(a,b)=\frac {a\cdot b}{\|a\|\cdot \|b\|}=\frac{-6}{6}=-1 \end{eqnarray}$ und wer nicht weiß, was der zugehörige Winkel ist, kann gerne weiter Ameisen jagen 1. Das ist mir jetzt aber doch peinlich, das kann doch gar nicht sein, oder 2. Na ja, kann schon sein, aber irgendwie ist das eine triviale Lösung. Gibt es da nicht noch eine andere 3. Hallo, analytische Geometer, helft mir aus der Patsche. Das ist Schulmathematik, das müssen wir können. 4. Hätte ich mich bloß nicht auf Schulmathematik eingelassen, da kann man sich doch nur blamieren
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05.11.2017, 19:34	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso sollte die Schulmathematik zusätzliche Lösungen liefern, die von der "allgemeinen" Mathematik nicht auch schon geliefert würden? Im Anhang dazu eine Euklid-Datei. Man ziehe an den durch ein Kreuz markierten Punkten.
05.11.2017, 19:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, Leopold, der Tag ist gerettet. Die Euklid-Datei überzeugt mich davon, dass ich hier keinen Unsinn betrieben habe. Ich hatte mich selbst verwirrt, indem ich nach der Rechnung eine Skizze zu Papier gebracht habe, in der die bei dir rot gezeichneten Vektoren senkrecht zu stehen schienen. (Anscheinend kann ich besser rechnen als zeichnen.)

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