Kombinatorik Verständnis

22.01.2016, 20:36	Kombinatoriker	Auf diesen Beitrag antworten »
Kombinatorik Verständnis Meine Frage: Hallo, folgendes Problem. In jeder gekauften Packung befindet sich einer von 6 Buchstaben, man benötigt jeden genau einmal um zu Gewinnen. Ich suche die Wahrscheinlichkeit, bei 10 gekauften alle 6 Buchstaben zu erhalten. Meine Ideen: Es gibt $\begin{eqnarray} 6^{10} \end{eqnarray}$ mögliche Kombinationen und das Ereignis, dass man die 6 richtigen zieht wird beschrieben durch $\begin{eqnarray} E=\left\{ \omega \in \Omega ~\|~ \exists i_1,\dots,i_6 \text{ mit } \omega_{i_j}= j \text{ für }1\leq j\leq6\right\} \end{eqnarray}$ . Ich muss ja nur noch die Anzahl der Elemente von $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ bestimmen. 6 Elemente habe ich ja nichtmehr zur Auswahl, also müsste $\begin{eqnarray} \|E\|=6^4 \end{eqnarray}$ gelten?
22.01.2016, 21:49	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ganze muss man fast zwangsläufig mit der Siebformel angehen. Betrachten wir gleich mal das Problem mit $\begin{align} m \end{align}$ (gleichwahrscheinlichen) Buchstaben und $\begin{align} n \end{align}$ gekauften Packungen, bei dir somit $\begin{align} m=6,n=10 \end{align}$ . Sei $\begin{align} \Omega \end{align}$ der Laplacesche W-Raum aller möglichen Packungskäufe, d.h. $\begin{align} \|\Omega\|=m^n \end{align}$ . Dort drin betrachtet man die Ereignisse $\begin{align} A_k \end{align}$ ... Buchstabe $\begin{align} k \end{align}$ taucht in keiner der $\begin{align} n \end{align}$ Packungen auf . Gesucht ist dann die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\begin{align} A = \bigcap_{k=1}^m A_k^c = \Omega \setminus \left( \bigcup_{k=1}^m A_k \right) \end{align}$ ("jeder Buchstabe ist mindestens einmal dabei"), berechenbar über Siebformel mit Ergebnis $\begin{align} P(A) = \sum_{j=0}^m (-1)^j \binom{m}{j} \left( \frac{m-j}{m} \right)^n = \frac{1}{m^n} \sum_{j=0}^m (-1)^j \binom{m}{j} (m-j)^n = \frac{(-1)^m}{m^n} \sum_{k=0}^m (-1)^k \binom{m}{k} k^n \end{align}$ , letzteres über Indexumkehrung $\begin{align} k=m-j \end{align}$ . Im vorliegenden Fall bedeutet das demnach $\begin{align} P(A) = \frac{1}{6^{10}} \sum_{k=0}^6 (-1)^k \binom{6}{k} k^{10} \end{align}$ .
23.01.2016, 08:14	Kombinatoriker	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal vielen Dank für deine Antwort HAL! Ich habe es so ähnlich gemacht und $\begin{eqnarray} \mathbb{P}(A^{\mathrm{C}})=\mathbb{P}(\bigcup_{k=1}^6 A_k) \end{eqnarray}$ mit der Siebformel berechnet um dann $\begin{eqnarray} \mathbb{P}(A)=1-\mathbb{P}(A^{\mathrm{C}}) \end{eqnarray}$ zu erhalten.

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