Partielle DGL / Methoden der Charakteristik

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scoubina Auf diesen Beitrag antworten »
Partielle DGL / Methoden der Charakteristik
Hallo Ihr!
Ich habe Schwierigkeiten bei folgender Aufgabe. Ich soll die Lösung folgender DGL bestimmen:



wobei als Nebenbedingung gegeben ist.
Normalerweise habe ich keine Schwierigkeiten mit der Methode der Charakteristik. Aber "mein" Lösungsweg (bzw. der, der bei uns im Skript steht) behandelt nur Fälle, bei denen die Nebenbedingung durch gegeben ist.

Wie muss ich bei solch einer Aufgabe vorgehen?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partielle DGL / Methoden der Charakteristik
Überlege dir einfach was es anschaulich bedeutet. Anstatt die Anfangswerte auf der y-Achse zu haben ist sie nun auf der Gerade .

Man sollte die Charakteristikengleichungen auch dafür eigentlich herleiten können, alternativ dreht man sich die Gerade zurecht. Dafür definiere und . Dann ist und . Damit definieren wir Die Anfangswerte reduzieren sich zu den gewünschten und jetzt muss noch die Differentialgleichung durch ausgedrückt werden.
scoubina Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partielle DGL / Methoden der Charakteristik
Vielen Dank.. Aber: Wie kommst du auf diese Substitution? Und wie genau lässt sich jetzt meine NB auf die "normalen" reduzieren?

Kann man das denn auch ohne Substitution machen?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partielle DGL / Methoden der Charakteristik
Die Charakteristiken sind ja unabhängig von den Anfangswerten. Das sind Kurven, die sich in der Ebene bewegen s.d. man die Werte auf denen verfolgen kann. Der einzige Unterschied wäre rauszufinden welchen Wert sie (berechenbar) transportieren, und ob die auf der y-Achse liegen oder nicht ist wirklich nicht von großer Konsequenz.

Und das ist die übliche Substitution für die Wellengleichung, da die Koordinaten dort sehr natürlich auftauchen. Und du hast . Was sagt die erste Gleichung über aus?
scoubina Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partielle DGL / Methoden der Charakteristik
Ach so, jetzt verstehe ich.
Somit hätte ich dann die Nebenbedingung und könnte die Gleichung "normal" lösen und müsste dann am Schluss einfach alles wieder zurücktransformieren.
Hm aber sollte es nicht eine Funktion von y sein? verwirrt

Nimmt man dann immer diese Substitution? Also bspw. ich hätte die Nebenbedingung ?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partielle DGL / Methoden der Charakteristik
Du hast . Und hier bieten sich die v,w an, da diese das Koordinatensystem um 90 Grad drehen (ggf. spiegeln).

Bei Anfangswerten wuerde sich anbieten, das System nach rechts zu verschieben d.h. und . Du kannst ja verifizieren das es stimmt und dann ueberlegen, was du fuer Koordinaten bei z.b. nehmen wuerdest. (Tipp: Reduziere es erst auf )
 
 
scoubina Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige bitte..Aber wie genau formst du auf diese neue Nebenbedingung um? Steh grad irgendwie auf dem Schlauch! unglücklich

Und ohje, bei wär ich total überfordert!!! Hilfe..
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind 2 sehr simple Gleichheiten. Die erste ist die Definition der Funktion und die zweite das Einsetzen der Werte der Funktion am "Rand".

Bei der anderen Funktion. Wenn du meinen Tipp befolgst: Du willst eine Funktion mit . Damit reduzierst du das Problem es auf der Geraden zu suchen -- und das haben wir ganz am Anfang geloest. D.h. dann kannst du finden.
sonny1001 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man nicht auch ganz normal an die Aufgabe rangehen?



Lösung:

Kann das jemand bestätigen?

Gruß
sonny
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