Warum ist die Menge U mit p(0)=c nur mit c=0 ein Untervektorraum vom P_3?

23.01.2016, 12:32	victorius1	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ist die Menge U mit p(0)=c nur mit c=0 ein Untervektorraum vom P_3? Meine Frage: Hallo Leute, Ich habe Probleme zu verstehen, warum die Menge $\begin{eqnarray} U_c = \{ p \in P_3\ \|\ p(0) = c \} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} c\in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ nur mit $\begin{eqnarray} c=0 \end{eqnarray}$ als Untervektorraum des $\begin{eqnarray} P_3 \end{eqnarray}$ gelten soll. Mir wurde gesagt, dass sie nicht als Untervektorraum mit $\begin{eqnarray} c\neq 0 \end{eqnarray}$ gilt, weil: $\begin{eqnarray} p_1(0)+p_2(0)=c_1+c_2=c_3\neq 0 \end{eqnarray}$ . Also würde die Menge mit $\begin{eqnarray} c\neq 0 \end{eqnarray}$ den Nullvektor nicht enthalten. Meine Ideen: Aber warum ist es nicht möglich dieses konstante Polynom nullter Ordnung einfach mit einem Skalar $\begin{eqnarray} \lambda=0 \end{eqnarray}$ zu multiplizieren, so dass folgt: $\begin{eqnarray} \lambda p(0)=\lambda c=0\cdot c= 0 \end{eqnarray}$ Wäre das nicht ein Beweis, dass $\begin{eqnarray} U_c \end{eqnarray}$ in der Tat den Nullvektor mit $\begin{eqnarray} c\neq 0 \end{eqnarray}$ enthält, wegen der Skalarmultiplikation mit Null? Vielen Dank für jede Antwort!
23.01.2016, 12:39	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar kannst Du das machen, aber damit setzt Du bereits voraus, dass $\begin{eqnarray} U_c \end{eqnarray}$ ein Unterraum ist oder zumindest mit jedem Vektor auch seine Vielfachen enthält. Das soll aber doch gerade gezeigt werden. Mit anderen Worten: Du beweist nicht, dass $\begin{eqnarray} U_c \end{eqnarray}$ ein UVR ist, sondern zeigst damit, dass der Nullvektor in jedem (nichtleeren) UVR enthalten sein muss.
23.01.2016, 13:07	victorius1	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber setzte ich das wirklich damit voraus, denn ich dachte das wäre das Standardschema, um herauszufinden, ob ein Untrraum vorliegt oder nicht: Wenn $\begin{eqnarray} U_c \end{eqnarray}$ zumindest ein Element enthält, dann wäre doch aufgrund der Abgeschlossenheit von $\begin{eqnarray} U_c \end{eqnarray}$ bezüglich der Skalarmultiplikation auch der Nullvektor in $\begin{eqnarray} U_c \end{eqnarray}$ enthalten wenn man $\begin{eqnarray} \lambda = 0 \end{eqnarray}$ setzt? Oder gehe ich da zu weit, weil ich die Abgeschlossenheit bereits voraussetze? Bei Vektoren des $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ macht man es doch genauso, dass man einfach ein Skalar gleich Null setzt, diesen dann mit den Koeffizienten des gegebenen Vektors multipliziert und damit zeigt, dass der Nullvektor rauskommt?
23.01.2016, 14:40	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau das habe ich ja vorhin schon gesagt: Du gehst davon aus, dass die Menge abgeschlossen bzgl. der Multiplikation mit einem Skalar ist. Tatsächlich ist das aber eins der drei Kriterien, die Du beweisen musst. Für einen Untervektorraum müssen drei Bedingungen erfüllt sein: (1) Die Menge darf nicht leer sein (2) Mit jedem Element ist auch sein skalares Vielfache in der Menge enthalten (3) Mit je zwei Elementen ist auch deren Summe in der Menge enthalten. Der Nachweis, dass c notwendiger Weise 0 sein muss ist einfach und von Dir schon erbracht worden: Jeder Vektorraum muss den Nullvektor enthalten. Bezeichnen wir diesen mit n, so gilt in $\begin{align} U_c: 0=n(0)=c \end{align}$ . Es ist also nur noch nachzuweisen, dass $\begin{align} U_0 \end{align}$ tatsächlich einen Unterraum bildet.

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