Vollständige Induktion bei Summe

23.01.2016, 13:53	Janki999	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion bei Summe Hallo, Irgenwie stehe ich hier auf dem Schlauch. Kann mir jemand den letzten Schritt des Beweises geben? IA und IS sind klar, bloß irgendwann komme ich nicht weiter, weil es für mich keinen Sinn macht $\begin{eqnarray} \sum_{i=2}^{n}\frac{1}{\sqrt{i}}> \sqrt{i} \end{eqnarray}$ Wobei $\begin{eqnarray} i\geq 2 \end{eqnarray}$ Bin etwas am Verzweifeln
23.01.2016, 14:06	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aussage ist ja auch nicht sinnvoll. Links steht ein von n abhängiger Term, rechts ein von i abhängiger. Welche Beziehung zwsichen i und n gilt ist nirgends festgelegt. Aber selbst wenn wir rechts ein n annehmen, ist bereits für n=2 die Aussage $\begin{eqnarray} \frac 1{\sqrt{2}} = \frac 12 \sqrt{2} > \sqrt{2} \end{eqnarray}$ falsch.
23.01.2016, 14:35	Janki999	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe natürlich Mist gebaut. Der Lernstress nagt an mir. es gilt natürlich n größer,gleich 2 und die Summe geht von i=1 Sorry! Ich komme nach dem IA bis $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{n}(1/\sqrt{n}) + 1/\sqrt{n+1} > \sqrt{n+1} \end{eqnarray}$ Jetzt muss ich doch irgenwie die IA, die ich schon bewiesen, habe da einbauen, aber da haperts.
23.01.2016, 14:53	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Unüberlegt übers Ziel hinausgeschossen - in der Summe bleibt das $\begin{align} i \end{align}$ bestehen. Damit die Behauptung wenigstens einmal im Thread richtig da steht: $\begin{align} \sum_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{i}} > \sqrt{n} \end{align}$ für alle $\begin{align} n\geq 2 \end{align}$ . Und im Induktionsschritt (IS) $\begin{align} n\to n+1 \end{align}$ wird weniger auf den Induktionsanfang (IA) $\begin{align} n=2 \end{align}$ zurückgegriffen als vielmehr auf die Induktionsvoraussetzung (IV), d.h. die Gültigkeit der Behauptung für Index $\begin{align} n \end{align}$ - soweit sollte das Prinzip der Vollständigen Induktion schon vertraut sein.
23.01.2016, 15:25	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich fasse mal zusammen. Wir haben die Ungleichung $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{n+1}\frac 1{\sqrt{i}} = \sum_{i=1}^{n} \frac 1{\sqrt{i}} + \frac 1{\sqrt{n+1}} > \sqrt{n} + \frac 1{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray}$ Die rechte Seite ist so abzuschätzen, dass sie größer als $\begin{eqnarray} \sqrt{n+1} \end{eqnarray}$ ist.
27.01.2016, 21:40	Janki999	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Das hat es für mich klar gemacht. Hab mich jetzt auch nochmal an die VI im allgemeinen gesetzt. War ja noch etwas unklar
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27.01.2016, 23:00	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Als Zusatzübung kannst du dich an der deutlich schärferen (und beidseitigen) Ungleichung $\begin{align} 2\sqrt{n+1}-2 < \sum_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{i}} < 2\sqrt{n}-1 \end{align}$ für alle $\begin{align} n\geq 2 \end{align}$ versuchen.

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