Kompaktheit von Mengen, Extremalstellen unter Nebenbedingungen

23.01.2016, 14:32	Jacobi1312	Auf diesen Beitrag antworten »
Kompaktheit von Mengen, Extremalstellen unter Nebenbedingungen Meine Frage: Entscheiden Sie begründet, ob die Menge M:= {(x, y) element R²\|x²+y²+xy-15 = 0} kompakt ist. Begründen Sie, warum die Funktion f : M -> R mit f(x, y) = 2 x + 5 y + 7 auf M ihr Minimum annimmt. Meine Ideen: Guten Tag. Es halndelt sich um eine Analysis 2 Aufgabe. Vielen dank für eure ideen im vorraus!
23.01.2016, 15:03	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann fang doch mal an mit der Kompaktheit: Was bedeutet kompakt?
23.01.2016, 15:50	Jacobi1312	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja kompakt bedeutet doch nichts anderes als abgeschlossen und beschränkt... aber wie zeige ich das denn ich steh exht auf dem schlauch.
23.01.2016, 15:58	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Menge $\begin{align} M \end{align}$ ist eine Ellipse. Aber das braucht man zur Lösung der Aufgabe nicht zu wissen. Wenn du dir die Funktion $\begin{align} g: \ \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \, , \ \ g(x,y) = x^2 + y^2 + xy - 15 \end{align}$ definierst, dann ist $\begin{align} M = g^{-1}(0) \end{align}$ . Was weißt du über Urbilder bei stetigen Funktionen? Und weiter kannst du zum Beispiel so umformen: $\begin{align} x^2 + y^2 + xy - 15 = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( x + \frac{1}{2} y \right)^2 + \frac{3}{4} y^2 = 15 \end{align}$ Auch hieran kann man etwas ablesen.
23.01.2016, 16:03	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die Abgeschlossenheit kennst du bestimmt einen Satz über Urbilder abgeschlossener Mengen bei stetigen Funktionen. Zur Beschränktheit: $\begin{eqnarray} x^2+y^2+xy=x^2+xy+\frac{y^2}{4}+\frac{3y^2}{4}=\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4} \end{eqnarray}$ Mach dir über diese Darstellung mal Gedanken. Edit: Huch, da hat ja Leopold gerade genau das gleiche geschrieben.
23.01.2016, 16:08	Jacobi1312	Auf diesen Beitrag antworten »
Super vielen Dank! Dann grübel ich mal ein bisschen weiter . Mfg
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23.01.2016, 16:10	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativ $\begin{eqnarray} x^2+y^2+xy=\frac 1 2 (x+y)^2+\frac 1 2 (x^2+y^2) \end{eqnarray}$

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