Nilpotente Endomorphismen

23.01.2016, 17:04	petomat	Auf diesen Beitrag antworten »
Nilpotente Endomorphismen Hallo zusammen, kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben, wie ich an die Aufgabe herangehen kann? Sei $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein K-Vektorraum und $\begin{eqnarray} f: V \rightarrow V \end{eqnarray}$ ein Endomorphismus. Angenommen: $\begin{eqnarray} V \neq \left\{ 0\right\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f^n=0 \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: 0 ist der einzige Eigenwert von f
23.01.2016, 17:15	petomat	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb K \end{eqnarray}$ ein Eigenwert von f. Dann existiert nach Vor. ein n $\begin{eqnarray} \in \mathbb N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f^n=0 \end{eqnarray}$ . Das bedeutet ja, dass $\begin{eqnarray} \lambda^n \end{eqnarray}$ ein Eigenwert von $\begin{eqnarray} f^n \end{eqnarray}$ ist. Da aber $\begin{eqnarray} f^n=0 \end{eqnarray}$ nach Vor., besitzt diese nur den Eigenwert $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ . Daher gilt: $\begin{eqnarray} f^n=0 \Rightarrow \lambda=0 \end{eqnarray}$ ist einziger Eigenwert
23.01.2016, 19:33	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt so.

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