Zeige mit partieller Integration

23.01.2016, 20:19

Oggel

Zeige mit partieller Integration

Zeige mit partieller Integration, dass für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N , n\geq 1 \end{eqnarray*}$ gilt :

$\begin{eqnarray*} \forall a \in \mathbb N, a \geq 0\int_{0}^{1} \! (1-x)^n * a^n \, dx = \frac{n}{a+1} * \int_{0}^{1} \! (1-x)^{n-1} *x^{a+1} \, dx \end{eqnarray*}$

ich weiß leider nicht so richtig wie ich da ran gehen soll. Habe versucht die partielle Integration anzuwenden.

Habe da bisschen rumgerechnet, bin aber nicht auf die Lösung gekommen. Ist der Weg richtig? Oder tappe ich vollkommen im Dunkeln?

23.01.2016, 20:23

Leopold

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RE: Zeige mit partieller Integration

Zitat:

Original von Oggel
$\begin{eqnarray*} \forall a \in \mathbb N, a \geq 0\int_{0}^{1} \! (1-x)^n * \color{red} a^n \color{black}\, dx = \frac{n}{a+1} * \int_{0}^{1} \! (1-x)^{n-1} *x^{a+1} \, dx \end{eqnarray*}$

Bitte korrigiere deine Angaben.

23.01.2016, 20:26

Oggel

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RE: Zeige mit partieller Integration

Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Bitte korrigiere deine Angaben.

Was meinst du? $\begin{eqnarray*} a^n \end{eqnarray*}$ ? steht bei mir so

23.01.2016, 20:30

Leopold

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Ich schätze, das soll wohl $\begin{align*} x^a \end{align*}$ heißen. Dann sieht man auch, wie partiell integriert wurde.

23.01.2016, 21:00

Oggel

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Zitat:

Original von Leopold
Ich schätze, das soll wohl $\begin{align*} x^a \end{align*}$ heißen. Dann sieht man auch, wie partiell integriert wurde.

Dann wird das wohl ein Tippfehler gewesen sein.
Wenn ich das mit deiner Berichtigung rechne komme ich auch fast auf das Ergebnis:

Bei mir kommt noch ein Minus als Vorzeichen raus also:
$\begin{eqnarray*} -\frac{n}{a+1} * \int_{0}^{1} \! (1-x)^{n-1}*x^{a+1} \, dx \end{eqnarray*}$

Da, wenn man in die "Stammfunktion" die Grenzen einsetzt 0 rauskommt aber das Minus bleibt ja stehen.

Oder seh ich das falsch?

24.01.2016, 12:18

Oggel

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Habe meinen Fehler gefunden.
$\begin{eqnarray*} (1-x)^n \end{eqnarray*}$ ist natürlich abgeleitet: $\begin{eqnarray*} -n * x^{n-1} \end{eqnarray*}$ Dann kommt auch das richtige raus!

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