LU-Zerlegung - Inverse Matrix

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24.01.2016, 11:39	Xyarvius	Auf diesen Beitrag antworten »
LU-Zerlegung - Inverse Matrix Meine Frage: $\begin{eqnarray} A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 2 & 3 & -2 & 1 \\ -2 & 3 & 7 & -1 \\ 2 & -3 & -3 & 11 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nutzen Sie die LU-Zerlegung, um $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ zu berechnen! Meine Ideen: Zuerst habe ich A in L und U zerlegt: $\begin{eqnarray} A = L \cdot U \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} L= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} R= \begin{pmatrix} 1& 0& -2 & 1 \\ 0 & 3 & 2 & -1 \\ 0& 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun dürfte ja gelten, dass $\begin{eqnarray} A^{-1} = (L \cdot U)^{-1} = L^{-1} \cdot U^{-1} \end{eqnarray}$ . Nun berechne ich also nur noch die Inversen von L und U, führe die Matrixmultiplikation durch und habe dann $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ . Ist das richtig? Geht es noch anders oder einfacher? Danke
24.01.2016, 11:57	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LU-Zerlegung - Inverse Matrix Nun dürfte ja nicht gelten, dass $\begin{eqnarray} A^{-1} = (L \cdot U)^{-1} = L^{-1} \cdot U^{-1} \end{eqnarray}$ .
24.01.2016, 12:13	Xyarvius	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LU-Zerlegung - Inverse Matrix Hmm, wie gehe ich dann vor? Ich stehe da gerade noch auf dem Schlauch. Hilft mir weiter, dass gilt: $\begin{eqnarray} AA^{-1} = E \end{eqnarray}$ (wobei E die Einheitsmatrix ist) was äquivalent zu $\begin{eqnarray} (L \cdot U) A^{-1} = E \end{eqnarray}$ sein müsste?
24.01.2016, 12:18	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LU-Zerlegung - Inverse Matrix Allgemein gilt $\begin{eqnarray} A^{-1} = (L \cdot U)^{-1} = U^{-1} \cdot L^{-1} \end{eqnarray}$ . Aber das verwendet man hier nicht. Wie löst du ein GLS $\begin{eqnarray} Ax=b \end{eqnarray}$ wenn du die LU-Zerlegung von A kennst?
24.01.2016, 12:43	Xyarvius	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LU-Zerlegung - Inverse Matrix Wenn ich ein LGS $\begin{eqnarray} Ax=b \end{eqnarray}$ mit bekannter LU-Zerlegung lösen möchte, rechne ich zuerst $\begin{eqnarray} L\cdot y= b \end{eqnarray}$ (wobei b gegeben ist) und dann $\begin{eqnarray} U\cdot x= y \end{eqnarray}$ womit ich dann $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ als meinen Lösungsvektor habe. Bei $\begin{eqnarray} AA^{-1} = E \end{eqnarray*}$ handelt es sich aber um Matrizen und nicht um Vektoren. Hrgh ...
24.01.2016, 12:51	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LU-Zerlegung - Inverse Matrix Du musst $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ nicht in einem Schritt berechnen, sondern der Reihe nach jede Spalte. Du musst dir jetzt nur noch überlegen, wie das jeweils dazu passende GLS aussieht. Insgesamt sind dann vier GLS zu lösen - eins für jede Spalte von $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$
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24.01.2016, 13:43	Xyarvius	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LU-Zerlegung - Inverse Matrix Aaaaah, ok, also, wenn ich das richtig verstanen habe rechne ich $\begin{eqnarray} L\cdot y_I = E_I \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 3 & 1 \end{pmatrix} \cdot y_I = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und dann $\begin{eqnarray} R \cdot x_I = y_I \equiv \begin{pmatrix} 1& 0& -2 & 1 \\ 0 & 3 & 2 & -1 \\ 0& 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot x_I = y_I \end{eqnarray}$ wodurch ich die erste Spalte von $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ erhalte. Die restlichen drei Spalten von $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ erhalte ich durch die Gleichungssysteme mit $\begin{eqnarray} E_{II} \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} E_{IV} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} E_{II} = \begin{pmatrix} 0 \\1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ usw. Stimmt das, oder schreibe ich gerade Unsinn?
24.01.2016, 13:57	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LU-Zerlegung - Inverse Matrix So ist das Vorgehen. Du solltest dich aber mal entscheiden, ob du U oder R als Bezeichnung verwenden willst.
24.01.2016, 14:01	Xyarvius	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LU-Zerlegung - Inverse Matrix Das U/R-Problem wird bei der finalen Berechnung natürlich nicht mehr auftreten, ich bin hier nur dabei etwas durcheinander geraten, weil die Aufgabenstellung von LU spricht, ich aber vorher LR gewohnt war. Danke, du hast mir sehr geholfen
24.01.2016, 14:12	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LU-Zerlegung - Inverse Matrix Gern Ich habe übrigens $\begin{eqnarray} 6A^{-1}= \begin{pmatrix} 294 & -72& 57 & -15 \\ -100 & 26 & -19 & 5 \\ 120& -30 & 24 & -6 \\ -48 & 12 & -9 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
24.01.2016, 15:35	Xyarvius	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LU-Zerlegung - Inverse Matrix Ich habe für $\begin{eqnarray} A^{-1} = \begin{pmatrix} 49 & -12 & 19/2 & -5/2\\-50/3 & 13/3 &-19/6 & 5/6\\ 20& -5 & 4 & -1\\ -8& 2 & -3/2 &1/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ herausbekommen. Scheint so, als wären unsere Ergebnisse identisch (nur dass deins deutlich hünscher aussieht) ...

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