Limes (e^x)/(x^n)

24.01.2016, 15:40	amateurphysiker_	Auf diesen Beitrag antworten »
Limes (e^x)/(x^n) Gesucht ist: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } \frac{e^{x} }{x^{n} } \end{eqnarray}$ Ich hab leider überhaupt keine Ahnung wie ich bei der Grenzwertbestimmung vorgehen soll. Ich weiss, dass $\begin{eqnarray} e^{x}= \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{x^{k} }{k!} \end{eqnarray}$ . Irgendwelche Ratschlaege waeren super!
24.01.2016, 15:48	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Na die Reihendarstellung ist doch schon mal eine Möglichkeit, passend abzuschätzen: Für $\begin{align} x>0 \end{align}$ sind alle Reihenglieder positiv, daher kannst du dort z.B. abschätzen $\begin{align} e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} > \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \end{align}$ d.h., du lässt alle Glieder außer dem für $\begin{align} k=n+1 \end{align}$ weg, damit wird der Wert kleiner.
24.01.2016, 18:48	amateurphysiker_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok, d.h. daraus folgt, dass $\begin{eqnarray} \frac{e^{x} }{x^{n} } > \frac{x}{(n+1)!} \end{eqnarray}$ und wegen $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } \frac{x}{(n+1)!}=\infty \end{eqnarray}$ , dass wir eine divergent Minorante haben und demnach $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } \frac{e^{x} }{x^{n} } \end{eqnarray}$ divergiert?
24.01.2016, 18:53	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so einfach geht das.
24.01.2016, 18:57	amateurphysiker_	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja, wenn man da nur selbst drauf kommen wuerde! Hoffe das kommt mit der Zeit. Vielen Dank dir!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »