Grenzen eines Integrals über gegebene Menge bestimmen

24.01.2016, 16:27

AnnaNatascha

Grenzen eines Integrals über gegebene Menge bestimmen

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich bin zwar fleißig am üben, aber immer wieder hänge ich an Integrationsaufgaben, bei denen ich über eine Menge integrieren muss...und das Problem sind meistens die Grenzen.
Diesmal habe ich eine Menge gegeben, die sieht wie folgt aus: $\begin{eqnarray*} B:=\left\{ (x,y,z)\in R^3: z^2 \leq \sqrt{x^2+2y^2} \leq 1-z^2\right\} \end{eqnarray*}$ und ich soll das Integral von f über die Menge B wobei f=x^2y+z berechnen.

Meine Ideen:
Zunächst sah mir das ganze stark nach Polarkoordinaten aus...als ich dann aber versucht habe einzusetzen habe ich schnell gemerkt, dass das wenig Sinn hat...Deshalb würde ich hier die Funktion "so nehmen wie sie ist", die Frage ist dann allerdings: Über welche Grenzen integriere ich denn dann hier? Also ich würde hier z zwischen -1 und 1 wählen auf Grund dessen dass die Wurzel in B ja positiv sein muss...Ist es dann richtig, wenn ich x zwischen 0 und $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-2y^2} \end{eqnarray*}$ wähle und y entsprechend zwischen 0 und $\begin{eqnarray*} \sqrt{1/2-1/2x^2} \end{eqnarray*}$ ?

Irgendwie fällt mir das soooo schwer, und bei jeder Aufgabe stehe ich wieder vor neuen Problemen...
Es wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte, denn alleine komme ich glaube ich nicht auf den richtigen Weg.

Vielen lieben Dank schon einmal.

24.01.2016, 16:42

HAL 9000

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Aufgrund der Struktur von $\begin{align*} B \end{align*}$ würde ich mit "modifizierten" Polarkoordinaten arbeiten (ich hätte beinahe gesagt "elliptische Koordinaten", aber der Begriff ist durch was anderes belegt):

$\begin{align*} x &= r\cos(\varphi)\\ y &= \frac{r}{\sqrt{2}}\sin(\varphi) \end{align*}$

24.01.2016, 16:56

AnnaNatascha

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Also hinsichtlich der Menge B klingt das super, dann erhalte ich den Ausdruck z^2 kleiner gleich r^2 kleiner gleich 1-z^2...würde der Ansatz dann wie folgt aussehen:
[attach]40615[/attach]
Dann müsste ich nur noch versuchen das ganze zu berechnen ;-)
Dankeschön!

24.01.2016, 17:05

HAL 9000

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Irgendwie hast du die Transformation $\begin{align*} (x,y)\to (r,\varphi) \end{align*}$ nicht richtig durchgeführt: Es ist hier $\begin{align*} \dd x ~ \dd y = \frac{r}{\sqrt{2}} ~ \dd r ~ \dd\varphi \end{align*}$ . Die Integrationsgrenzen für $\begin{align*} r \end{align*}$ und $\begin{align*} z \end{align*}$ sind auch falsch, sowohl unten als auch oben. unglücklich

Und ich sehe erst jetzt das konkrete $\begin{align*} f \end{align*}$ , da kann man sich viel Arbeit sparen: Es ist $\begin{align*} f(x,-y,-z) = -f(x,y,z) \end{align*}$ außerdem ist das beschränkte $\begin{align*} B \end{align*}$ dahingehend symmetrisch, dass $\begin{align*} (x,-y,-z)\in B \Leftrightarrow (x,y,z)\in B \end{align*}$ ...

Aber rechne ruhig mal auf "normale" Art und Weise durch. Augenzwinkern

24.01.2016, 17:16

AnnaNatascha

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Mmh...also ich habe jetzt nochmal von Anfang angefangen, und ich komme wieder auf das gleiche, was integriert werden muss...irgendwie stehe ich gerade auf dem Schlauch...das mit den Grenzen ist mein allseits bekanntes Problem...ich weiß nicht mehr was ich noch machen soll...ich bin einfach unfähig so eine Aufgabe zu lösen...

24.01.2016, 17:22

AnnaNatascha

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Das heißt das ganze sieht dann so aus?
[attach]40616[/attach]
Und meine Grenzen? Sry, ich stehe total auf dem Schlauch...

24.01.2016, 17:34

HAL 9000

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Es ist $\begin{align*} f(x,y,z) = x^2y+z = \frac{r^{{\color{red}3}}}{\sqrt{2}}\cos^2(\varphi)\sin(\varphi)+z \end{align*}$ .

Und die Integrationsgrenzen: Es gibt auch negative $\begin{align*} z \end{align*}$ , einzuhalten ist außerdem $\begin{align*} z^2\leq 1-z^2 \end{align*}$ , d.h. $\begin{align*} z^2\leq \frac{1}{2} \end{align*}$ bzw. aufgelöst $\begin{align*} -\frac{\sqrt{2}}{2}\leq z \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \end{align*}$ .

24.01.2016, 17:43

AnnaNatascha

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Das heißt ich muss das hier berechnen?
[attach]40618[/attach]
Hoffe da ist kein Fehler mehr drin...

Vielen lieben Dank!

24.01.2016, 17:50

AnnaNatascha

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Und ich hätte noch eine Frage bezüglich der Anmerkung, dass das auch einfacher gehen würde...wie denn genau? Weil ich muss ja ansonsten die Stammfunktion von cos^2*sin*(.) und in der Klammer steht auch nochmal was ziemlich langes, bilden...

24.01.2016, 17:51

HAL 9000

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Die Grenzen beim letzten Integral hast du verwechselt - richtig ist da $\begin{align*} \int\limits_{z^2}^{1-z^2} \end{align*}$ .

Zitat:

Original von AnnaNatascha
Und ich hätte noch eine Frage bezüglich der Anmerkung, dass das auch einfacher gehen würde...wie denn genau? Weil ich muss ja ansonsten die Stammfunktion von cos^2*sin*(.) und in der Klammer steht auch nochmal was ziemlich langes, bilden...

Tja, wer nicht denkt, der rechnet - Strafe muss sein. Augenzwinkern

An sich hatte ich ja die entscheidenden Stichpunkte dazu auch schon gegeben!

24.01.2016, 18:57

AnnaNatascha

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Nach mühseligen Berechnungen habe ich jetzt den Wert 0 rausbekommen...
Allerdings ist mir trotz dessen das mit der Symmetrie noch nicht klar ;-(

Aber vielen Dank...!
Und noch einen schönen Sonntag ;-)

24.01.2016, 19:10

HAL 9000

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Ja, 0 ist richtig.

Ok, die einfachere Rechnung: Wir teilen $\begin{align*} B \end{align*}$ in $\begin{align*} B_+ = \left\{ (x,y,z)\in B \bigm| z\geq 0 \right\} \end{align*}$ und $\begin{align*} B_- = \left\{ (x,y,z)\in B \bigm| z\leq 0 \right\} \end{align*}$

Dann ist $\begin{align*} \iiint\limits_B f(x,y,z) ~ \dd x ~ \dd y ~ \dd z = \iiint\limits_{B_+} f(x,y,z) ~ \dd x ~ \dd y ~ \dd z ~+~ \iiint\limits_{B_-} f(x,y,z) ~ \dd x ~ \dd y ~ \dd z \qquad (*) \end{align*}$ .

Nun gilt $\begin{align*} (x,y,z)\in B_- \Leftrightarrow (x,-y,-z)\in B_+ \end{align*}$ , die Substitution $\begin{align*} \tilde{y}=-y,\tilde{z}=-z \end{align*}$ ergibt somit

$\begin{align*} \iiint\limits_{B_-} f(x,y,z) ~ \dd x ~ \dd y ~ \dd z = \iiint\limits_{B_+} f(x,-y,-z) ~ \dd x ~ \dd y ~ \dd z \end{align*}$ .

Im vorliegenden Fall $\begin{align*} f(x,y,z)=x^2y+z \end{align*}$ gilt nun wie bereits erwähnt $\begin{align*} f(x,-y,-z)=-f(x,y,z) \end{align*}$ , damit haben wir

$\begin{align*} \iiint\limits_{B_-} f(x,y,z) ~ \dd x ~ \dd y ~ \dd z = -\iiint\limits_{B_+} f(x,y,z) ~ \dd x ~ \dd y ~ \dd z \end{align*}$ .

In (*) eingesetzt sind wir bei Gesamtintegralwert 0 - und haben nicht mal die Polarkoordinatentransformation gebraucht. Augenzwinkern

24.01.2016, 19:18

AnnaNatascha

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Vielen Dank, das klingt logisch...hätte ich zwar nie gesehen,aber wenn man mal genauer hinschaut...klar...da kann man sich echt viel Arbeit sparen...

Dankeschön! Wink

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