Landau-Symbole log(1+x) = x + o(x) Grenzwert Logarithmus

24.01.2016, 18:15

jamyam

Landau-Symbole log(1+x) = x + o(x) Grenzwert Logarithmus

Hallo,

bekannt ist $\begin{eqnarray*} \log(1+x)=x+o(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\to 0 \end{eqnarray*}$ in der Notation der Landau-Symbole

Das soll direkt äquivalent sein zu $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x}=1 \end{eqnarray*}$ , warum?

Nun warum gilt nicht auch, dass $\begin{eqnarray*} \log(1+x) = x + o(1) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\to 0 \end{eqnarray*}$ ?
Die Definition von o(1) heißt dass dieser Term für x gegen Null beliebig klein wird.

Übrigens die bekannte Definiton für $\begin{eqnarray*} f(x)\in o(g(x)) , \ x\to k \end{eqnarray*}$ ist: $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to k} \frac{f(x)}{g(x)}=0 \end{eqnarray*}$

Dann ist o(x) [für x gegen Null] eine beliebige Funktion die selbst gegen Null geht.

Die Defintion für limes einer Funktion ist:
h(x) = L für x gegen x0 : Für alle Folgen x_n, die keine Glieder = x0 haben, aber gegen x0 konvergieren, gilt: f(x_n) geht gegen L (Rückführung der Definition Grenzwert einer Funktion auf bekannte Definition von Folgen)

Viele Grüße

24.01.2016, 18:46

HAL 9000

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Zitat:

Original von jamyam
Nun warum gilt nicht auch, dass $\begin{eqnarray*} \log(1+x) = x + o(1) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\to 0 \end{eqnarray*}$ ?

Keiner bestreitet, dass diese schwächere Aussage auch gilt.

Aber die Aussage $\begin{eqnarray*} g(x) = x + o(1) \end{eqnarray*}$ ist nicht äquivalent zu $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x}=1 \end{eqnarray*}$ , dazu muss man nur mal das Beispiel $\begin{eqnarray*} g(x)=x+\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ anschauen. unglücklich

Außerdem gehört $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ selbst zur Klasse $\begin{eqnarray*} o(1) \end{eqnarray*}$ , also macht Schreibweise $\begin{eqnarray*} x+o(1) \end{eqnarray*}$ am Ende nicht mehr sonderlich viel Sinn.

24.01.2016, 19:56

jamyam

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Aha, das ist also eine schwächere Aussage, ich hatte zunächst gedacht, sie sei stärker.

Aber warum ist sie schwächer?

o(x) heißt, dass dieser Term geteilt durch x gegen Null geht.
o(1) heißt, dass der Term selbst gegen Null geht.

Nun liegt es also daran, dass in diesem Kontext x gegen Null geht?
Denn dann wird der Term durch die Division durch x ja eher größer und wenn er dann immernoch trotzdem gegen Null geht, ist das natürlich stärker, also er geht trotz der Vergrößerung noch gegen Null, der o(1) muss nur so gegen Null gehen.
Ist das der Grund?

Gilt außerdem $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x)= K \Leftrightarrow f(x)=K+o(1) \end{eqnarray*}$ ? Kann man das so allgemein sagen?

24.01.2016, 20:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von jamyam
Nun liegt es also daran, dass in diesem Kontext x gegen Null geht?

Richtig: Bei $\begin{align*} x\to\infty \end{align*}$ ist es anders, da ist o(1) stärker als o(x) .

Zitat:

Original von jamyam
Gilt außerdem $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x)= K \Leftrightarrow f(x)=K+o(1) \end{eqnarray*}$ ? Kann man das so allgemein sagen?

Ja klar, das ist ja de facto die Definition von o(1), angewandt auf die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)-K \end{eqnarray*}$ .

24.01.2016, 20:06

jamyam

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jo danke dir Wink

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