Grenzwert Exponentialfunktion e 1/2

24.01.2016, 19:42	fragenur	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert Exponentialfunktion e 1/2 Guten Abend, nun ich las hier in einer Signatur $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}\mathrm{e}^{-n}\sum_{k=0}^n\frac{n^k}{k!}=\frac12 \end{eqnarray}$ Aber bekanntlich ist doch: (der 2. Faktor) $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n\frac{n^k}{k!} = \sum_{k=0}^\infty\frac{n^k}{k!} =\exp(n) \end{eqnarray}$ Damit komm ich auf e^x mal Kehrwert = 1 statt 1/2, wo ist der Fehler ? Vielen Dank und Grüße
24.01.2016, 20:15	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Dort steht aber nicht $\begin{align} \lim_{n\to\infty} e^{-n} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{n^k}{k!} = 1 \end{align}$ (was richtig ist), sondern $\begin{align} \lim_{n\to\infty} e^{-n} \sum_{k=0}^n \frac{n^k}{k!} \end{align}$ . Wie sich herausstellt, verschwindet der "Rest" $\begin{align} e^{-n} \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{n^k}{k!} \end{align}$ nicht für $\begin{align} n\to\infty \end{align}$ , wie du vielleicht (aus welchen Gründen auch immer) angenommen hast.
24.01.2016, 22:10	fragenur	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok ich sehe dass ich eigentlich einfach $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}e^{-n}e^n=1 \end{eqnarray}$ gerechnet habe. Gibt es mit Analysis-Grundwissen eine Möglichkeit an diesen Rest heranzukommen? Den müsste man ja von der 1 abziehen… Vielleicht mit Cauchyprodukt von e^(-n) und dem Rest bzw. dem Anfang (Summe von 0 bis n) Geht das überhaupt bei endlichen Summen? Hat mich auch eher so interessiert, falls es mit Erstsemesterwissen nicht zu bewältigen ist, schau ich vielleicht wann anders noch mal drauf...
24.01.2016, 22:20	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Fakt ist, dass bei festem $\begin{align} n \end{align}$ die Folge $\begin{align} a_k = \frac{n^k}{k!} \end{align}$ wegen $\begin{align} \frac{a_k}{a_{k-1}} = \frac{n}{k} \end{align}$ erst für $\begin{align} k=n-1 \end{align}$ bzw. $\begin{align} k=n \end{align}$ ihren Modalwert erreicht, d.h., es ist $\begin{align} a_0 < a_1 < \ldots < a_{n-1}=a_n > a_{n+1} > a_{n+2} > \ldots \end{align}$ . Es ist insofern nicht verwunderlich, dass auch der Partialsummenwert bis dahin erst ca. die "Hälfte" $\begin{align} \frac{1}{2}e^n \end{align}$ erreicht hat - ein Beweis dafür ist es natürlich nicht, da müssen wohl andere Mittel ran (kann momentan auch nicht sagen, wie es geht). EDIT: Mit Stochastik-Mitteln habe ich einen Weg gefunden. Die Summe $\begin{align} X_n \end{align}$ von $\begin{align} n \end{align}$ unabhängig identisch Poisson(1)-verteiltem Zufallsgrößen ist Poisson(n)-verteilt, mit $\begin{align} P(X_n=k) = \frac{n^k}{k!} e^{-n} \end{align}$ . Für $\begin{align} n\to\infty \end{align}$ besagt der Zentrale Grenzwertsatz (ZGWS), dass die Verteilung von $\begin{align} \frac{X_n-E(X_n)}{\sqrt{V(X_n)}} = \frac{X_n-n}{\sqrt{n}} \end{align}$ gegen die Standardnormalverteilung konvergiert (punktweise). D.h., es gilt $\begin{align} P(X_n\leq n) = P\left( \frac{X_n-n}{\sqrt{n}} \leq 0\right)\to \Phi(0)=\frac{1}{2} \end{align}$ für $\begin{align} n\to\infty \end{align}$ , in Analysis-Termen also $\begin{align} \lim_{n\to\infty} e^{-n}\cdot \sum_{k=0}^n \frac{n^k}{k!} = \frac{1}{2} \end{align}$ , genau das was wir suchen.

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