Parameterabhängige Integrale

24.01.2016, 21:06

Serdengecti

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Parameterabhängige Integrale

Meine Frage:
Parameterabhängige Integrale?

Hallo Leute,

Die Aufgabe lautet: f(x)= das Integral von (t=1) bis x^2 ln(tx)/1+t dt ist abzuleiten.

Aber dafür muss ich ja erst ln(tx)/1+t nach t integrieren.

Wie kann ich hier vorgehen?

Die Lösung der Ableitung ist reellwertig.

Meine Ideen:
Wir haben mit Freunden versucht mit substitutioneller und partieller Integration weiterzukommen aber es schlug fehl.

24.01.2016, 21:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von Serdengecti
Aber dafür muss ich ja erst ln(tx)/1+t nach t integrieren.

Musst du nicht, zumindest nicht in Gänze: Ist $\begin{align*} G(t) \end{align*}$ eine Stammfunktion von $\begin{align*} g(t) \end{align*}$ , so hat

$\begin{align*} f(x) = \int\limits_1^{h(x)} g(t) ~ \dd t = G(h(x))-G(1) \end{align*}$

die Ableitung $\begin{align*} f'(x) = G'(h(x))h'(x) = g(h(x))h'(x) \end{align*}$ , d.h., die wirkliche Stammfunktion $\begin{align*} G \end{align*}$ wird zumindest für $\begin{align*} f' \end{align*}$ nicht gebraucht.

Natürlich darf der Integrand dabei nicht von $\begin{align*} x \end{align*}$ abhängen, aber das lässt sich hier dank $\begin{align*} \ln(tx)=\ln(t)+\ln(x) \end{align*}$ partiell erreichen:

$\begin{align*} f(x) = \int\limits_1^{x^2} \frac{\ln(tx)}{1+t} ~ \dd t = \int\limits_1^{x^2} \frac{\ln(t)}{1+t} ~ \dd t ~+~ \ln(x) \int\limits_1^{x^2} \frac{1}{1+t} ~ \dd t \end{align*}$

Das hintere Integral kannst du direkt auswerten, beim ersten hilft der obige Tipp.

P.S.: Ich habe die ganze Zeit angenommen, dass wieder mal in anscheinend üblicher Schlampigkeit die Klammern vergessen wurden, d.h., dass eigentlich ln(tx)/(1+t) als Integrand gemeint war. Früher hätte ich den Beitrag damit begonnen, jetzt stelle ich es resignierenderweise nur noch als Nachsatz ans Ende.

24.01.2016, 22:19

Dopap

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RE: Parameterabhängige Integrale

Zitat:

Original von Serdengecti

Aber dafür muss ich ja erst ln(tx)/1+t nach t integrieren.

bei dieser Schreibfigur ist das noch "leicht" zu sehen, aber bei

ln(tx)/t+1 wird das schon schwieriger.

------------------

@HAL : Sulo meinte mal mein Name stamme von doppelter Papa ab. Nicht schlecht! Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.01.2016, 23:35

Serdengecti

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@HAL 9000

Danke für die Antwort erstmal.

Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, muss ich für die Funktion für die Variable t die obere Intervallgrenze x^2 einsetzen und das mit der Ableitung von x^2 multiplizieren und das stellt meine Ableitung für f(x) dar?

Das hintere Integral lässt sich leicht auswerten aber das erste?

ln t /(1+t) dt schaffe ich es nicht zu integrieren?! Was müsste mein Ansatz sein?

Habe zusätzlich das Aufgabenblatt hochgeladen.

24.01.2016, 23:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von Serdengecti
Das hintere Integral lässt sich leicht auswerten aber das erste?

ln t /(1+t) dt schaffe ich es nicht zu integrieren?! Was müsste mein Ansatz sein?

Das habe ich ausführlichst erklärt - vielleicht liest du nochmal von vorn. unglücklich

unglücklich

25.01.2016, 09:36

Serdengecti

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Versuch
So ich fasse mal den Stand der Dinge zusammen:

$\begin{eqnarray*} g(t)= ln(tx)/(1+t) \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=\int_a^b \! g(t) \, dt \end{eqnarray*}$ , wobei untere Grenze t=1 und obere Grenze x^2, a=1 und b=x^2

Aufgabe: Was ist f´(x)?

Ansatz:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \int_1^b \! g(t) \, dt=G(b)-G(1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\int_1^b \! g(t) \, dt= G'(b)* b' \end{eqnarray*}$
--------

$\begin{eqnarray*} f(x)= \int_1^b \! ln(tx)/(1+t) \, dt = \int_1^b \! ln(t)+ln(x)/(1+t) \, dt =\int_1^b \! ln(t)/(1+t), dt + \int_1^b \! ln(x)/(1+t), dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int_1^b \! ln(t)/(1+t), dt + ln(x) \int_1^b \! 1/(1+t), dt \end{eqnarray*}$

(Nebenrechnung: $\begin{eqnarray*} \int \! 1/(1+t), dt = ln(|1+t|)(+c) \end{eqnarray*}$

Intervallgrenzen einsetzen: = ln(|1+x^2|)-ln(|2|) )

$\begin{eqnarray*} =\int_1^b \! ln(t)/(1+t), dt + ln(x) * (ln(|1+x^2|)-ln(|2|)) = \int_1^b \! ln(t)/(1+t), dt + ln^2 (x)(|-1+x^2|) \end{eqnarray*}$

Weiter komme ich nicht....

Wenn ich bei dem ersten Integral jetzt

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\int_1^b \! g(t) \, dt= G'(b)* b' \end{eqnarray*}$

einsetze dann habe ich ja $\begin{eqnarray*} f'(x)= G'(b)* b'= ln(x^2)/(1+x^2)* (die innere Funktion) \end{eqnarray*}$

Ist die innere Funktion der Nenner, also 1+x^2 oder das was in den Klammern von ln steht, also x^2??

Und ist der Rechenweg soweit richtig?

und ich habe ja einen bereits aufgeleiteten rechten Teil (das 2. Integral) , muss der auch nicht abgeleitet werden??

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25.01.2016, 09:46

HAL 9000

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Du wählst $\begin{align*} b(x)=x^2 \end{align*}$ , also ist da $\begin{align*} b'(x)=2x \end{align*}$ .

Der zweite Summand $\begin{align*} \ln(x)\cdot (\ln(1+x^2)-\ln(2)) \end{align*}$ muss selbstverständlich auch abgeleitet werden.

25.01.2016, 10:40

Serdengecti

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Also

$\begin{eqnarray*} f'(x)= g(t) \, dt= G'(b)* b' = g(b)*b' \end{eqnarray*}$

Bisher die Funktion

$\begin{eqnarray*} =\int_1^b \! ln(t)/(1+t), dt + ln(x) * (ln(|1+x^2|)-ln(|2|)) <br /> <br /> = ln(x^2)/(1+x^2)*2x + (ln(x) * (ln(|1+x^2|)-ln(|2|)))' <br /> <br /> = ln(x^2)/(1+x^2)*2x + (ln(x^2+1)-ln(2))/x+(2x*ln(x))/(x^2+1) \end{eqnarray*}$

Das entspricht aber nicht der Lösung :

$\begin{eqnarray*} f'(x)= 1/x * ln((1+x^2)/2) + ((6x)/(1+x^2)) * ln (x) \end{eqnarray*}$

(Der Screenshot ist oben im Anhang....)

Wo liegt mein Fehler?

25.01.2016, 11:39

HAL 9000

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Es liegt kein Fehler vor, nur fehlende Vereinfachungen:

Für $\begin{align*} x> \end{align*}$ 0 (und was anderes betrachten wir hier ja nicht) gilt $\begin{align*} \ln(x^2)=2\ln(x) \end{align*}$ . Berücksichtige das noch, dann kannst du deine Lösung in die Musterlösung überführen.

Außerdem ist noch $\begin{align*} \ln(a)-\ln(b) = \ln\left(\frac{a}{b}\right) \end{align*}$ , das solltest du bei $\begin{align*} \ln(1+x^2)-\ln(2) \end{align*}$ bedenken.

25.01.2016, 12:50

Serdengecti

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$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{ln(x^2)}{1+x^2}*2x + \frac{ln(x^2+1)-ln(2)}{x}+\frac{2x*ln(x)}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Abschnitt für Abschnitt:

1. Summand

$\begin{eqnarray*} \frac{ln(x^2)}{1+x^2}*2x =\frac{2*ln(x^3)}{1+x^2} = \frac{3*2*ln(x)}{1+x^2} = \frac{6*ln(x)}{1+x^2} = \frac{6*ln(x)}{1+x^2} \end{eqnarray*}$
_______________________________________________________________

2. Summand

$\begin{eqnarray*} \frac{ln(x^2+1)-ln(2)}{x} =ln (\frac {x^2+1}{2})*{x} \end{eqnarray*}$
_______________________________________________________________

3. Summand

$\begin{eqnarray*} \frac{2x*ln(x)}{x^2+1} = \frac{2*ln(x^2)}{x^2+1} = \frac{2*2*ln(x)}{x^2+1} = \frac{4*ln(x)}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Den 1. Summanden und 3. Summanden kann man zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} \frac{10*ln(x)}{x^2+1} = \frac{10}{x^2+1}{ln(x)} \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} f'(x) =ln (\frac {x^2+1}{2})*{x} + \frac{10}{x^2+1}{ln(x)} \end{eqnarray*}$

Musterlösung:

$\begin{eqnarray*} f'(x) =\frac{1}{x} * ln (\frac {x^2+1}{2}) + \frac{6x}{x^2+1}{ln(x)} \end{eqnarray*}$

Irgendwas stimmt da nicht oder?

25.01.2016, 12:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von Serdengecti
$\begin{eqnarray*} \frac{ln(x^2)}{1+x^2}*2x =\frac{2*ln(x^3)}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

Wieso wird aus $\begin{eqnarray*} \ln(x^2) \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \ln(x^3) \end{eqnarray*}$ ? Wohin verschwindet der Faktor $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ von links? verwirrt

verwirrt

Sag jetzt nicht, du hast $\begin{eqnarray*} \ln(x^2)\cdot x \stackrel{???}{=} \ln(x^3) \end{eqnarray*}$ gerechnet. geschockt

geschockt

Zitat:

Original von Serdengecti
$\begin{eqnarray*} \frac{ln(x^2+1)-ln(2)}{x} =ln (\frac {x^2+1}{2})*{x} \end{eqnarray*}$

Ähnlicher Unfug: Wieso wird aus Division durch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ plötzlich Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ? unglücklich

unglücklich

Kurzum: Bitte "erfinde" keine neuen Termumformungsregeln, sondern halte dich an die bestehenden, die sind auf jeden Fall ausreichend.

25.01.2016, 13:32

Serdengecti

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Zum Ersten:

Ich korriegiere

$\begin{eqnarray*} \frac{ln(x^2)}{1+x^2}*2x=\frac{2*2*ln(x)}{1+x^2}=\frac{4x*ln(x)}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

analog wäre dann der 3.Summand:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x*ln(x)}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

2x + 4x = 6x

das ist geklärt.

Beim Zweiten:

Natürlich durch x ist das gleiche wie * (1/x)
______________________________
Habe aber 2 Verständnisfragen:

1.
Die Formel war ja:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \int_1^b \! g(t) \, dt=G(b)-G(1) \end{eqnarray*}$

was ist mit -G(1) ??? Was macht man damit?

2.
Die Ausgangssituation war folgende:

$\begin{eqnarray*} g(t)= ln(tx)/(1+t) \, dt \end{eqnarray*}$

Danach haben wir ln(tx) zu ln(t)*ln(x) umgeformt und dann beide Produkte betrachten.

Hätten wir nicht direkt die obere Intervallgrenze in ln(tx) einsetzen können , also ln(x^2*x) (Ich schreibe bewusst nur einen Teil der Funktion, weil ich nicht die komplette Funktion abtippen möchte)

Wenn nein, warum?

25.01.2016, 13:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von Serdengecti
was ist mit -G(1) ??? Was macht man damit?

Das ist eine Konstante. Was passiert mit Konstanten bei der Ableitung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Serdengecti
Danach haben wir ln(tx) zu ln(t)*ln(x) umgeformt und dann beide Produkte betrachten.

Nein, es ist ln(tx) = ln(t) + ln(x). Deine Kenntnisse der Logarithmenregeln offenbaren sich immer mehr als komplettes Desaster.

Zitat:

Original von Serdengecti
Hätten wir nicht direkt die obere Intervallgrenze in ln(tx) einsetzen können , also ln(x^2*x)

Bitte konkret ausführen - ich weiß nicht, was du meinst: Einfach die obere Integralgrenze in einen Teil des Integranden einsetzen ist kein Verfahren, was mich an irgendwas sinnvolles erinnert.

Zitat:

Original von Serdengecti
(Ich schreibe bewusst nur einen Teil der Funktion, weil ich nicht die komplette Funktion abtippen möchte)

Oberfaule Ausrede. Wenn du mit der Ausführung hier unzufrieden bist und glaubst, eine dünnere Stelle gefunden zu haben, an der du das Brett bohren kannst, dann musst du das schon näher erläutern.

25.01.2016, 14:07

Serdengecti

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Zitat:

Original von HAL 9000

Das ist eine Konstante. Was passiert mit Konstanten bei der Ableitung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ?

Wir haben ja eine (fiktive) Stammfunktion G, in der die Variablen t und x vorkommen.
Wenn wir für "t" "1" einsetzen, haben wir ja noch einige x Variablen oder? Also warum soll das eine Konstante sein?

Zitat:

Original von HAL 9000
Bitte konkret ausführen - ich weiß nicht, was du meinst.

$\begin{eqnarray*} \frac{ln(tx)}{1+t} \end{eqnarray*}$

Meine Frage:

Hätte man hier, anstatt den Term als $\begin{eqnarray*} \frac{ln(t)}{1+t}+\frac{ln(x)}{1+t} \end{eqnarray*}$ zu betrachten, in $\begin{eqnarray*} \frac{ln(tx)}{1+t} \end{eqnarray*}$ nach der Ableitungsformel für "t" die obere Intervallgrenze "x^2" einsetzen können??

25.01.2016, 14:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von Serdengecti
Wir haben ja eine (fiktive) Stammfunktion G, in der die Variablen t und x vorkommen.

Nicht bei mir - da musst du wohl nochmal lesen: Ich habe über einargumentige Funktionen $\begin{align*} g \end{align*}$ und $\begin{align*} G \end{align*}$ gesprochen. unglücklich

unglücklich

Konkret oben über $\begin{align*} g(t)=\frac{\ln(t)}{1+t} \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Serdengecti
Hätte man hier, anstatt den Term als $\begin{eqnarray*} \frac{ln(t)}{1+t}+\frac{ln(x)}{1+t} \end{eqnarray*}$ zu betrachten, in $\begin{eqnarray*} \frac{ln(tx)}{1+t} \end{eqnarray*}$ nach der Ableitungsformel für "t" die obere Intervallgrenze "x^2" einsetzen können??

Nun weiß ich wieder nicht, was du mit "Ableitungsformel für t" meinst. Schreib ganz konkret die Gleichungszeile komplett auf, die dir vorschwebt. Es ist ja nun mittlerweile komplett klar, dass ich offenbar völlig anders denke als du und deshalb nur lose skizzierten Gedankengängen von dir nicht folgen kann.

----------------------------------------------------

Offenbar ist dir folgendes nicht klar: Ich habe diese Zerlegung

$\begin{align*} f(x) = \int\limits_1^{x^2} \frac{\ln(tx)}{1+t} ~ \dd t = \int\limits_1^{x^2} \frac{\ln(t)}{1+t} ~ \dd t ~+~ \ln(x) \int\limits_1^{x^2} \frac{1}{1+t} ~ \dd t \end{align*}$

gerade deswegen vorgenommen, damit im ersteren "komplizierteren" Integral im Integranden keine x-Abhängigkeit mehr vorliegt! Alles, was x-abhängig war, wurde im zweiten Integranden versammelt, und dort ließ es sich einfach faktoriell abtrennen und vor das Integral ziehen (d.h. das $\begin{align*} \ln(x) \end{align*}$ ), während das Integral selbst sehr einfach zu lösen war.

Durch diesen Kniff war es dann möglich, die Vorüberlegung für einargumentige (!) $\begin{align*} g \end{align*}$

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{align*} f(x) = \int\limits_1^{h(x)} g(t) ~ \dd t = G(h(x))-G(1) \end{align*}$

[...]

$\begin{align*} f'(x) = g(h(x))h'(x) \end{align*}$

direkt auf $\begin{align*} g(t)=\frac{\ln(t)}{1+t} \end{align*}$ sowie $\begin{align*} h(x)=x^2 \end{align*}$ anzuwenden.

Wenn da noch ein $\begin{align*} x \end{align*}$ dringestanden hätte, dann wäre das so nicht möglich gewesen! In dem Fall bräuchte man die ganze Zerlegung nicht, und hätte so vorgehen müssen wie in deinem Beitrag 24.01, 23:35 stand "es gilt (siehe Formelsammlung)" ... Wollte ich vermeiden und zeigen, dass man auch mit einfacher Analysis von Funktionen mit einem Argument hier zum Ziel kommt.

Dazu kommt noch, dass du mit deinem Scan erst dann angewackelt kamst, also ich den Lösungsweg schon komplett skizziert angebracht hatte. Das nächste Mal also bitte sofort deutlich anmerken, wenn du eine bestimmte Lösungsmethodik bevorzugst.

26.01.2016, 13:23

Serdegecti

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Besten Dank für die aufschlussreichen Antworten!

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