Summierbarkeit von Familie korrekt zeigen

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fragenur Auf diesen Beitrag antworten »
Summierbarkeit von Familie korrekt zeigen
Guten Abend,

eher eine Verständnisfrage, geht nicht um die Lösung:

Wie zeige ich korrekt, dass diese Familie summierbar ist?




Nun da würde ich trivial partitionieren mit der kartesischen Partition, also sei

Damit habe ich die Indexmenge partitioniert, also es gilt, dass die paarweise disjunkt sind und dass sie in der Vereinigung wieder die Indexmenge ergeben, richtig soweit?


Nun hier wurde mir gesagt, dass das eigentlich falsch ist. Weil die Partition dürfe man nur machen, wenn man schon weiß, dass die Familie summierbar ist.
Aber wie soll man das denn sonst machen? Auch so Abschätzungen sehe ich keine Möglichkeit zu machen, wenn noch nicht partitioniert wurde...

Habe ich das richtig verstanden: Wenn eine Familie summierbar ist, dann darf man umordnen also über beliebige Partitionen aufsummieren und es kommt immer dasselbe raus: eine feste Zahl (im Allgemeinen komplex, aber halt nicht geht gegen unendlich oder unterschiedliche Zahlen).

Also ist es streng genommen falsch was ich mache, wenn ich mit dieser Partition rechne, da es ja zufällig was rauskommen könnte aber bei einer anderen Partition könnte theoretisch was anderes rauskommen (das war die Begründung warum es falsch ist was ich machte).

Ein oft gesehenes Beispiel ist die Doppelreihe: Sehe ich das richtig, dass das einfach die Summation über eine Indexmenge mit 2-Tupeln ist?
Dann mit der kartesischen Parition


Da hatten wir ein Beispiel, dass die zwei letzten Ausdrücke nicht übereinstimmten und dann gesagt, dass die Familie nicht summierbar ist. Aber wie zeigt man dass eine Familie summierbar ist, und nicht nur eine Partition zufällig einen Wert annimmt oder zwei verschiedene Paritionierungen zufällig zum selben Ergebnis führen....?

Kann man sonst diesen "Großen Umordnungssatz" (auch genannt "großes Assoziativgesetz") irgendwie mir mehr verständlich machen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fragenur
Da hatten wir ein Beispiel, dass die zwei letzten Ausdrücke nicht übereinstimmten

Das kann allenfalls dann passieren wenn keine absolute Konvergenz vorliegt:

Existiert die Doppelreihe über die Beträge - oder liegt eben von vornherein eine Reihe nichtnegativer reeller Zahlen vor, dann kann eine solche Vertauschung bedenkenlos vorgenommen werden. Was bei einer solchen Reihe mit sämtlich nichtnegativen Reihengliedern höchstens passieren kann, ist bestimmte Divergenz gegen , das dann aber auch in allen Vertauschungsfällen. Augenzwinkern

Im vorliegenden Fall mit kann wild "getauscht" werden, es kann nix passieren. smile
fragenur Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schonmal für die Antwort, doch leider habe ich bei dem Thema noch große Verständnisprobleme.

Zeige ich jetzt also die Summierbarkeit weil die zwei Doppelreihen übereinstimmen oder stimmen sie überein, weil die Familie summierbar ist.

Das Argument war ja, dass bei Summierbarkeit alle wie auch immer gearteten Partitionierungen gleiches Ergebnis liefern. Nun rechne ich mit den zwei verschieden Summen und bekomme zufällig dasselbe raus?


Frage: Ist es denn theoretisch überhaupt möglich, dass eine Familie nicht summierbar ist, aber es zwei Partitionierungen gibt, die trotzdem dasselbe liefern?
fragenur Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte das vielleicht jemand noch erklären?

Zitat:
Original von fragenur
Zeige ich jetzt also die Summierbarkeit weil die zwei Doppelreihen übereinstimmen oder stimmen sie überein, weil die Familie summierbar ist.

...

Frage: Ist es denn theoretisch überhaupt möglich, dass eine Familie nicht summierbar ist, aber es zwei Partitionierungen gibt, die trotzdem dasselbe liefern?


Viele Grüße und schonmal danke für die Bemühung...
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich gibt es das, sogar viele. Fixiere ein beliebig, und sei eine Permutation der Zahlen . Setze als Identität für alle anderen Zahlen fort.

Dann ist eine Partition, aber liefert für alle das gleiche.
fragenur Auf diesen Beitrag antworten »

Ok mit endlich vielen Umordnungen ist das verständlich.

Nun aber zur Frage bzgl. der Begrifflichkeiten

Zeige ich jetzt also die Summierbarkeit weil die zwei Doppelreihen übereinstimmen oder stimmen sie überein, weil die Familie summierbar ist?

Wenn ich nun hier die beiden letzten Summen ausrechne ...



... und aufs selbe rauskomme - dann

*) habe ich gezeigt dass die Familie summierbar ist?

oder

*) habe ich den Fehler gemacht, dass ich eine Partition gewählt habe, aber das nichts bringt weil ich die Summe nur über die Partitionierung aufsummieren darf, wenn ich Summierbarkeit schon gezeigt habe???

Und nun: Wie zeige ich die Summierbarkeit denn korrekt?
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Die stimmen überein, weil die Familie summierbar ist. Das hatte HAL ja zu Beginn angesprochen -- wenn du über positive Zahlen summierst, stimmt der Reihenwert für alle möglichen Partitionen überein.

Um genau zu sein: Eine Familie ist summierbar, genau dann wenn für eine Partition (und damit für alle) summierbar ist. Jede bedingt konvergente Reihe lässt sich nämlich so umordnen, dass jeder mögliche Wert herauskommt.
fragenur Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hast du mich noch nicht richtig verstanden, aber es geht jetzt nicht um positive Glieder sondern um dieses Konstrukt



Es geht also um so eine Familie wobei

Zitat:
Die stimmen überein, weil die Familie summierbar ist

Das heißt also :

Familie summierbar . DARAUS FOLT : Werte stimmen überein (IMPLIKATION)

So nun rechne ich die Werte einzeln aus einmal

und dann


und schließlich stelle ich fest dass sie übereinstimmen (jetzt als Beispiel sagen wir mal dass sie übereinstimmen)

Dann ist es ein logischer Fehler daraus zu folgern, dass die Familie summierbar ist gemäß Implikation (IMPLIKATION) . Aber das will ich doch gerade zeigen, ob / dass die Familie summierbar ist!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fragenur
Vielleicht hast du mich noch nicht richtig verstanden, aber es geht jetzt nicht um positive Glieder

Ursprünglich schon:

Zitat:
Original von fragenur
Wie zeige ich korrekt, dass diese Familie summierbar ist?


Es ist ein wenig verwirrend, wenn ständig die Richtung gewechselt wird.
fragenur Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, das sollte ein Beispiel sein. Da will ich später auch nochmal drauf zurück, habe nicht dran gedacht, dass man das auch anders verstehen kann als ich es gemeint habe.

Könntest du bitte trotzdem versuchen, auf meine in dem Post gestellte Fragen einzugehen, die ich ja nun präzisiert habe...

Für später:
Bezüglich des konkreten Beispiels:
Warum - genau - darf ich hier umordnen. Dass die Summanden nicht-negativ sind hört sich eher so nach Faustregel an...
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Daher habe ich auch die Beträge ins Spiel gebracht. Eine Familie ist genau dann summierbar, wenn die Absolutbeträge der Folgenglieder summierbar sind. Letzteres erhält per Definition nur nicht-negative Folgenglieder, daher kann man sich eine beliebige Partition aussuchen. Liefert die Familie, ausgewertet bzgl. dieser Partition, einen endlichen Wert, so liefert jede beliebige Partition den gleichen Wert. Somit ist die Familie der Absolutbeträge summierbar, und nach dem ersten Satz die Original-Familie.

Anzumerken hier die Grundmenge selbst -- man kann diese natürlich als Spezialfall von oben auffassen, allerdings hat man dort die bedingte Konvergenz eingeführt. Da eine Ordnung besitzt, ist es natürlich zu fragen, ob es bzgl. dieser "Partition" konvergiert, auch wenn es dies nicht für andere tut.
fragenur Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU
... Eine Familie ist genau dann summierbar, wenn die Absolutbeträge der Folgenglieder summierbar sind.


aha, ist das die Definition für im Allg. komplexe Zahlen oder wie kommt man darauf?

Dann brauchen wir eine Defn auf die wir zurückführen können und zwar.
Eine Menge nichtnegativer reeller Zahlen (sowas lebt ja in der Betragsmenge) ist summierbar genau dann wenn ???

Zitat:
Letzteres erhält per Definition nur nicht-negative Folgenglieder, daher kann man sich eine beliebige Partition aussuchen.

Das ist für mich nicht trivial. Warum macht hier die Partition nichts aus?

Zitat:
Liefert die Familie, ausgewertet bzgl. dieser Partition, einen endlichen Wert, so liefert jede beliebige Partition den gleichen Wert.

Das wäre dann klar, wenn das darüber klar wäre.



Und zu den bedingten Konvergenzen und beliebigen Summenwert können wir auch noch kommen...
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fragenur
Zitat:
Original von IfindU
... Eine Familie ist genau dann summierbar, wenn die Absolutbeträge der Folgenglieder summierbar sind.


aha, ist das die Definition für im Allg. komplexe Zahlen oder wie kommt man darauf?

Das kann man zeigen. Basiert auf der Betrachtung von Folgen . So zeigt man dort, das bedingte Konvergenz immer Permutationen zulässt, die Unsinn treiben. Dort zeigt man auch, dass bei absoluter Konvergenz die Reihenfolge der Summation keine Rolle spielt.

Zitat:

Dann brauchen wir eine Defn auf die wir zurückführen können und zwar.
Eine Menge nichtnegativer reeller Zahlen (sowas lebt ja in der Betragsmenge) ist summierbar genau dann wenn ???

Genau dann, wenn es eine Partition gibt, s.d. es über diese summierbar ist. Man könnte auch definieren wenn es für alle Partitionen summierbar ist, aber da man später zeigt, dass es äquivalent ist, nimmt man es netterweise so in die Definition auf, damit man es nur mit einer Partition zeigen muss.

Zitat:

Zitat:
Letzteres erhält per Definition nur nicht-negative Folgenglieder, daher kann man sich eine beliebige Partition aussuchen.

Das ist für mich nicht trivial. Warum macht hier die Partition nichts aus?

Ist auch für mich nicht trivial, es ist dennoch richtig. Für den Fall zeigt es Amann-Escher in Ihrem fabelhaften Analysis I Buch (Theorem 8.9).

Beweisidee ist eigentlich recht simpel: Man nimmt sich eine Permutation, und betrachtet erst einmal nur endliche viele Vertauschungen. Die absolute Konvergenz gibt einem eine uniforme Schranke für den Fehler den man macht -- und dieser kann klein gemacht werden.

Zitat:

Und zu den bedingten Konvergenzen und beliebigen Summenwert können wir auch noch kommen...

Hat sogar einen netten Namen: Riemannscher Umordnungssatz.
fragenur Auf diesen Beitrag antworten »

Dann erstmal zum Verständnis - Stimmen folgende Aussagen;

Das konkrete Beispiel von ganz am Anfang: Da darf die Familie beliebig partitioniert werden, weil die Objekte nichtnegativ sind also ihrem Betrag entsprechen?
Es muss immer dasselbe rauskommen. Eine Umordnung macht bei nichtnegativen Gliedern niemals eine Änderung.

Für komplexe Zahlen die nicht reell sind würde das also so im Allg nicht gelten?


Für reelle konvergente aber nicht absolut konvergente Familien lässt sich eine Umordnung finden, sodass jede reelle Zahl als Grenzwert erreicht werden kann sowie +unendlich -unendlich und auch gar keine Konvergenz - also auch nicht bestimmt gegen +/- unendlich - auftreten kann (letzteres bin ich nicht sicher)?
Sonst ist mir das zumindest relativ klar.

Wie sieht es da mit komplexen konvergenten nicht absolut konvergenten Familien aus?


Für die Untersuchung der Summierbarkeit bei einer Indizierung über N oder N², N³ (kart Prod. natürliche Zahlen) kann man also wie du gesagt hast, die Familie der Beträge ansehen und da darf man ja beliebig umordnen und das Ergebnis ist genau äquivalent rückführbar auf die urspr. Familie...


Nun nochmal dies hier

Zitat:

Es geht also um so eine Familie wobei



Nehmen wir an, die beiden letzten Terme ergeben dasselbe, z.B. auch das sie gegen unendlich gehen.
Kann ich dann irgendetwas zur Summierbarkeit der Familie sagen? Und wenn ja, warum?

Die große Frage ist also: Darf man überhaupt so eine Partitionierungs-Summe betrachten, wenn man ja noch garnicht weiß ob die Familie summierbar ist (das will man ja gerade überprüfen)?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fragenur
Dann erstmal zum Verständnis - Stimmen folgende Aussagen;

Das konkrete Beispiel von ganz am Anfang: Da darf die Familie beliebig partitioniert werden, weil die Objekte nichtnegativ sind also ihrem Betrag entsprechen?
Es muss immer dasselbe rauskommen. Eine Umordnung macht bei nichtnegativen Gliedern niemals eine Änderung.

Korrekt.
Zitat:
Für komplexe Zahlen die nicht reell sind würde das also so im Allg nicht gelten?

Man kann recht leicht zeigen, dass genau dann summierbar ist, wenn jeweils summierbar sind. Damit ist die Untersuchung von komplexen Familien effektiv die Untersuchung zweier reeller Familien mit allen netten Eigenschaften.

Zitat:

Für reelle konvergente aber nicht absolut konvergente Familien lässt sich eine Umordnung finden, sodass jede reelle Zahl als Grenzwert erreicht werden kann sowie +unendlich -unendlich und auch gar keine Konvergenz - also auch nicht bestimmt gegen +/- unendlich - auftreten kann (letzteres bin ich nicht sicher)?

Sollte möglich sein. Man permutiert erst so, dass man . Die Folge wird so partioniert s.d. . Dann wechselt man wieder das Vorzeichen und erhöht die Schranke. So gibt es eine Teilfolge gegen und eine gegen .

Zitat:
Wie sieht es da mit komplexen konvergenten nicht absolut konvergenten Familien aus?

Je nachdem ob Real- oder Imaginärteil nicht bedingt konvergent sind kann man gewisse Konvergenzen erzwingen. Falls beide bedingt konvergent sind, dann kann man alle komplexen Zahlen erreichen und alle "unendlich". Wenn z.B. nur Realteil bedingt konvergent ist, während Imaginärteil absolut konvergent ist, so kann man alle Werte auf erreichen (und eben die entsprechenden "unendlich"-Werte).

Zitat:

Nehmen wir an, die beiden letzten Terme ergeben dasselbe, z.B. auch das sie gegen unendlich gehen.
Kann ich dann irgendetwas zur Summierbarkeit der Familie sagen? Und wenn ja, warum?

Du kannst aus dem Ergebnis nicht schließen, dass sie nicht-summierbar ist. Mehr ist leider nicht drin. Die Frage nach Summierbarkeit ist also (fast) genauso offen wie vorher.

Zitat:

Die große Frage ist also: Darf man überhaupt so eine Partitionierungs-Summe betrachten, wenn man ja noch garnicht weiß ob die Familie summierbar ist (das will man ja gerade überprüfen)?

Betrachten darf man sie natürlich immer. Man muss nur vorsichtig sein, welchen Schluss man daraus zieht. So ist die Konvergenz bzgl. einer Partition a priori bedeutungslos, die Konvergenz zweier Partitionen mit verschiedenem Grenzwert lässt sofort auf nicht-Summierbarkeit schließen, ähnlich wie die Divergenz bzgl. einer Partition. Wenn man auf Summierbarkeit schließen will, sollte man besser ein gutes Argument haben, warum die Konvergenz einer Partition bereits Summierbarkeit impliziert. Meines Wissens gibt es keine ernsthafte Alternative zur absoluten Konvergenz (also über die positiven Zahlen zu argumentieren) -- was auch nicht wirklich problematisch ist, weil das ein verdammt gutes Kriterium ist.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Je nachdem ob Real- oder Imaginärteil nicht bedingt konvergent sind kann man gewisse Konvergenzen erzwingen. Falls beide bedingt konvergent sind, dann kann man alle komplexen Zahlen erreichen und alle "unendlich".


Das glaube ich nicht. Betrachte . Sowohl Realteil, als auch Imaginärteil sind bedingt konvergent, aber man kann keine Konvergenz gegen irgendeinen Punkt erzwingen, der nicht in dem eindimensionalen Untervektorraum von liegt, in dem jedes summierte Folgenglied liegt. Oder war das anders gemeint?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Schönes Beispiel. Ich hab auch noch was zu meckern:

Zitat:
Original von IfindU
Zitat:
Nehmen wir an, die beiden letzten Terme ergeben dasselbe, z.B. auch das sie gegen unendlich gehen.
Kann ich dann irgendetwas zur Summierbarkeit der Familie sagen? Und wenn ja, warum?

Du kannst aus dem Ergebnis nicht schließen, dass sie nicht-summierbar ist.

Zumindest was den "z.B."-Fall betrifft, sehe ich das anders:

Wenn auch nur einer der beiden Terme unendlich ergibt (egal was der andere Term macht), dann ist die Familie nicht summierbar, zumindest nicht im eigentlichen Sinne (weiß nicht, ob es auch bei Summierbarkeit den Begriff "uneigentlich" gibt, d.h. wenn jede Reihenfolge zu Reihenwert führt).
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

@Guppi
Danke. Ich habe in Gedanken Real- und Imaginärteil einzeln betrachtet -- aber das war nicht wirklich sinnvoll.

@HAL
Sorry natürlich. Irgendwie habe ich das nach "z.B." einfach überlesen.
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