Taylor-Polynom

25.01.2016, 11:52

Wait8

Taylor-Polynom

Hallo,
bräuchte Hilfe zum Lösen einer Aufgabe.
Folgendes Problem habe ich: Ich solle das Taylor-Polynom 5. Grades bestimmen mit dem Entwicklungspunkt x_0=0
Als Hinweis hat mir mein Prof gegeben, dass ich bekannte Potenzreihe benutzen soll. Diese stehen in der Formelsammlung drin. Habe also bis zum 5.Grad die Reihen benutzt.
Nur ich weiß ab dem Punkt nicht weiter, wo ich meine Rechnung aufgehört habe.
Die Lösung ist: 3X^5+3x^4-4x^3+2x+2.
Allerdings weiß ich nicht, wie man darauf kommen soll
Kann mir jemand dabei helfen und ist meine Ansatz überhaupt richtig?
Danke schonmal im Voraus
Die Funktion steht innerhalb ersten Zeile

[attach]40708[/attach]

EDIT: Das Bild ist zu groß und deshalb kann ich es nicht im Anhang hochladen, deshalb verzeiht mir, wenn ich es bei einem Bilderhoster hochlade.

edit 2 von sulo: Bild als verkleinerter Dateianhang hochgeladen, Link entfernt. Zum Vergrößern draufklicken.

25.01.2016, 11:59

HAL 9000

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$\begin{align*} \frac{1}{1-x} \stackrel{?}{=} 1-x^1+x^2-x^3+x^4-\ldots \end{align*}$

ist falsch - denk mal über die Vorzeichen rechts (oder links?) genau nach, da stimmt was nicht. unglücklich

Der Rest sieht soweit Ok aus, wobei deine Kennzeichnung "f(x)=" mit dem Taylorpolynom so natürlich nicht in Ordnung ist - Gleichheit besteht da nur für $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ .

25.01.2016, 12:58

Wait8

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Ja bei den Vorzeichen war ich mir selber nicht sicher, wie ich das nehmen soll.

Mein Problem ist, wie soll ich weitermachen, um auf das Ergebnis zu kommen?

Meinst du das f(x) in der ersten Zeile, in der Aufgabenstellung?

25.01.2016, 13:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von Wait8
Ja bei den Vorzeichen war ich mir selber nicht sicher, wie ich das nehmen soll.

Mein Problem ist, wie soll ich weitermachen, um auf das Ergebnis zu kommen?

Ja zunächst mal solltest du die von mir als falsch angezeigte Zeile korrigieren. Der Rest vom Ansatz sah ja soweit ganz gut aus.

25.01.2016, 15:35

Wait8

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Habe den Fehler verbessert und zusätzlich ausmultipliziert.
Aber jetzt habe ich das Problem, wie soll ich mit den einzelnen Variabeln umgehen?

Man könnte das noch ausklammern je nach Potenz, aber ich sehe danach keine weitere Möglichkeit.

http://up.picr.de/24391951wy.jpg

25.01.2016, 15:52

HAL 9000

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Ich mache nur unter der Bedingung weiter, dass du mit deinen hässlichen Scans aufhörst. Augenzwinkern

Als Gegenleistung starte ich mit einer LaTeX-Vorlage, derer du dich ja dann auch bedienen kannst ("Zitat"-Button):

Mit Landau-Symbolen geschrieben reicht es, bis hin zu

$\begin{align*} f(x) = 2\left(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+O(x^6)\right) -2x^2\left(1-\frac{x^2}{2}+O(x^4)\right) -6x^2\left(x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)\right) \end{align*}$

die Taylorentwicklungen zu betrachten. Ausmultiplizieren ergibt

$\begin{align*} f(x) = 2+2x+2x^2+2x^3+2x^4+2x^5+O(x^6) -2x^2+x^4+O(x^6)-6x^3+x^5+O(x^7) \end{align*}$

Nun ist im Landau-Teil $\begin{align*} O(x^6)+O(x^6)+O(x^7)= O(x^6) \end{align*}$ , den Rest kannst du zum gesuchten Polynom zusammenfassen.

D.h., du hast bei den Winkelfunktionen unnötig große Potenzen noch mit erfasst, während du bei $\begin{align*} \frac{1}{1-x} \end{align*}$ zu früh abgebrochen hast - es geht schließlich um das Taylorpolynom fünfter Ordnung. Augenzwinkern

25.01.2016, 16:30

Wait8

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich mache nur unter der Bedingung weiter, dass du mit deinen hässlichen Scans aufhörst. Augenzwinkern

Als unerfahrener LateX Benutzer ist die Scanmethode schneller als erst den LateX Code zu lernen und sich immer zu ärgern, wieso LateX nicht das ausgibt, was man eingegeben hat.

Aber Gut, ich werde mit dem LateX-Code versuchen alles auszugeben Augenzwinkern

Zitat:

Nun ist im Landau-Teil $\begin{align*} O(x^6)+O(x^6)+O(x^7)= O(x^6) \end{align*}$ , den Rest kannst du zum gesuchten Polynom zusammenfassen.

Wenn du die Ordnungen zusammenfasst, wie kann das sein, dass aus den ganzen nur $\begin{align*} O(x^6) \end{align*}$ dabei rauskommt, anstatt $\begin{align*} O(x^6)*2+O(x^7) \end{align*}$ ?

Zitat:

D.h., du hast bei den Winkelfunktionen unnötig große Potenzen noch mit erfasst, während du bei $\begin{align*} \frac{1}{1-x} \end{align*}$ zu früh abgebrochen hast - es geht schließlich um das Taylorpolynom fünfter Ordnung. Augenzwinkern

Bei allen drei habe ich 5 Glieder, woher weiß ich, dass ich zu früh abgebrochen habe? Heißt das, ich brauch mindestens $\begin{align*} x^5 \end{align*}$ ?

Nun komme ich endlich auf die Lösung, aber woher weiß ich, ab wann ich das mit dem Landau machen kann/darf?

25.01.2016, 16:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von Wait8
Wenn du die Ordnungen zusammenfasst, wie kann das sein, dass aus den ganzen nur $\begin{align*} O(x^6) \end{align*}$ dabei rauskommt, anstatt $\begin{align*} O(x^6)*2+O(x^7) \end{align*}$ ?

Wie gesagt, es geht um Landau-Symbole - ich halte jetzt keinen Kurs darüber, belies dich selbst. Nur soviel, das sind keine "normalen" Funktionen.

Hier etwa versammelt $\begin{align*} O(x^6) \end{align*}$ Potenzen mit Exponenten $\begin{align*} \geq 6 \end{align*}$ , also all das, was uns hier bei dieser Frage nicht mehr interessiert.

Zitat:

Original von Wait8
Heißt das, ich brauch mindestens $\begin{align*} x^5 \end{align*}$ ?

Ja. Nicht die Anzahl der Glieder entscheidet, sondern deren Potenzgrad.

25.01.2016, 21:57

Wait8

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Okay, vielen Dank.
Habe mich ein wenig in das Thema eingelesen, aber im Endeffekt brauch ich nicht mehr als das, was du geschrieben hast.

Eine andere Methode als diese wäre nur mehrmals hintereinander ableiten und Systematik erkennen? Und was mach ich den mit dem Entwicklungspunkt $\begin{align*} x_0=0 \end{align*}$ ?

25.01.2016, 23:02

Dopap

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also, $\begin{eqnarray*} \frac {1}{1-q}=1+q+q^2 +q^3 +... \quad |q|<1 \end{eqnarray*}$ sollte man als geometrische Reihe doch im Kopf haben.
------------------------------------------------------------
nun zu $\begin{eqnarray*} f(x):=\frac{2}{1-x}-2x^2\cos(x)-6x^2\sin(x) \end{eqnarray*}$

Das kann man direkt in eine Taylorreihe zum Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ entwickeln:

$\begin{eqnarray*} f(x)\approx T_5(x_0,x)= \sum _{k=0}^5\, \frac {f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k \end{eqnarray*}$ oder als Mc.Laurinreihe geschrieben:

$\begin{eqnarray*} f(x)\approx T_5(0,x)= \sum _{k=0}^5\, \frac {f^{(k)}({\color{red}0})}{k!} (x)^k \end{eqnarray*}$

deinen Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} {\color{red}0} \end{eqnarray*}$ setzt du brav der Reihe nach in die Ableitungen ein.

Nur, so fürchte ich, werden die Ableitungen eine ziemliche Plackerei und ein allgemeines Glied der Ableitungen ist auch nicht in Sicht. unglücklich

Du kannst aber evtl. mal den Anfang der Lösung nachrechnen .

01.02.2016, 10:09

Wait8

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Viele Dank für eure Hilfe.
Habe die Matheprüfung mit einer 2,0 bestanden Augenzwinkern

Im Sinne vom Professor war die Lösung von HAL9000 richtig, aber deine Dopap würde bei einer leichteren auch gehen. smile

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