Pseudoinverse einer Matrix (Schnittkreis Kugel mit Ebene Ergebnis kontrollieren)

25.01.2016, 15:13	Enomine	Auf diesen Beitrag antworten »
Pseudoinverse einer Matrix (Schnittkreis Kugel mit Ebene Ergebnis kontrollieren) Aufgabenstellung: Kugeloberfläche: $\begin{eqnarray} <r-r_M, r-r_M>=25 \end{eqnarray}$ Kugelmittelpunkt: $\begin{eqnarray} r_M = \begin{pmatrix} 5\\ 4 \\-3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Kugel schneidet die Folgende Ebene in einem Kreis: $\begin{eqnarray} r=r_1+t_1b_1+t_2b_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r_1 = \begin{pmatrix} 2\\5\\0\end{pmatrix}, b_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\1\\0\end{pmatrix}, b_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1\\1\\0\end{pmatrix}, r_s = \begin{pmatrix} 5\\4\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ In einem anderen Thread war folgendes die Aufgabenstellung: Berechnen Sie den Mittelpunkt des Schnittkreises mit dem Skalarprodukt. Die Lösung war $\begin{align} r_s = \begin{pmatrix} 5\\4\\0\end{pmatrix} \end{align}$ Nun ist Aufgabe b) Überprüfen Sie das Ergebnis aus a) mit der Pseudoinversen. Lösungsansatz: Wie man die Pseudoinverse berechnet ist wie folgt beschrieben: http://help.matheass.eu/de/Pseudoinverse.html Jedoch fehlt mir leider jeglicher Ansatz dafür, weil ich gar nicht weiß aus welchen Vektoren ich denn eine Matrix zusammenbasteln soll. Desweiteren habe ich in google nach Webseiten gesucht, die erklären, wie eine Pseudoinverse zu interpretieren ist, also was sie aussagt. Leider habe ich keine Webseite gefunden, die mir das erklärt. Ergo wenn ich wüsste welche zusammengebastelte Matrix ich zu einer Pseudoinverse umrechnen soll dann könnte ich das evtl. tun aber ich weiß noch nicht ob ich das Ergebnis überhaupt interpretieren könnte. Ich suchte auch nach der Erklärung wie eine Pseudoinverse zu interpretieren ist um eine Idee dafür zu bekommen welche Vektoren ich benutzen muss. Danke - Enomine
26.01.2016, 11:59	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ist die Pseudoinverse zu deuten? Gegeben sei eine nxm-Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ mit m Zeilen und n Spalten (m<n), wobei die m Zeilen linear unabhängige Vektoren sind. Die Pseudoinverse $\begin{eqnarray} A^+ \end{eqnarray}$ ist umgekehrt eine Matrix mit n Zeilen und m Spalten, wobei gilt: --------------------------- Erstens: Im Falle $\begin{eqnarray} i \neq j \end{eqnarray}$ steht die i-te Zeile $\begin{eqnarray} \vec a_i \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ senkrecht auf der j-ten Spalte $\begin{eqnarray} \vec a_j^+ \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} A^+ \end{eqnarray}$ . --------------------------- Zweitens: Im Falle $\begin{eqnarray} i=j \end{eqnarray}$ ergeben die m Skalarprodukte "Zeile mal Spalte " den Wert $\begin{eqnarray} \vec a_i\cdot \vec a_i^+=1 \end{eqnarray}$ . ---------------------------

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