Gleichung des Schnittkreises (Ebene schneidet Kugel)

25.01.2016, 15:25	Enomine	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung des Schnittkreises (Ebene schneidet Kugel) Aufgabenstellung: Kugeloberfläche: $\begin{eqnarray} <r-r_M, r-r_M>=25 \end{eqnarray}$ Kugelmittelpunkt: $\begin{eqnarray} r_M = \begin{pmatrix} 5\\ 4 \\-3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Kugel schneidet die Folgende Ebene in einem Kreis: $\begin{eqnarray} r=r_1+t_1b_1+t_2b_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r_1 = \begin{pmatrix} 2\\5\\0\end{pmatrix}, b_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\1\\0\end{pmatrix}, b_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1\\1\\0\end{pmatrix}, r_s = \begin{pmatrix} 5\\4\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ In einem anderen Thread war folgendes die Aufgabenstellung: Berechnen Sie den Mittelpunkt des Schnittkreises mit dem Skalarprodukt. Die Lösung war $\begin{align} r_s = \begin{pmatrix} 5\\4\\0\end{pmatrix} \end{align}$ Unter anderem kamen wir bei der Berechnung auf folgende Kreisgleichung: $\begin{align} \left( t_1 - \sqrt{2} \right)^2 + \left( t_2 + 2 \sqrt{2} \right)^2 = 16 \end{align}$ Nun ist Aufgabe c) Welche Gleichung hat der Schnittkreis? Stellen Sie dazu die Ebene geeignet dar und arbeiten Sie mit dem Einsetzungsverfahren. Welchen Radius hat der Schnittkreis? Lösungsansatz: Wir haben in Aufgabe a) doch bereits eine Kreisgleichung herausbekommen. Was will der Professor also in dieser Klausuraufgabe dann von mir? Soll ich die Gleichung $\begin{align} \left( t_1 - \sqrt{2} \right)^2 + \left( t_2 + 2 \sqrt{2} \right)^2 = 16 \end{align}$ einfach nochmal hinschreiben oder was? Was bedeutet es, wenn ich die "Ebene geeignet darstellen"? Soll ich sie Zeichnen oder ist das Mathematisch gemeint? Muss ich hier noch etwas rechnen? Was muss ich auf das Blatt schreiben um dieser Anweisung gerecht zu werden und die Punkte zu bekommen? Haben wir in a) bereits mit dem Einsetzungsverfahren gearbeitet oder muss ich das noch tun? Gemäß unserer Kreisgleichung hat der Schnittkreis den Radius $\begin{align} \sqrt{16} = 4 \end{align}$ Danke - Enomine
25.01.2016, 20:04	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die allgemeine Kreisgleichung in R3 kann entweder als Schnitt einer Ebene mit einer Kugel oder in Parameterform dargestellt werden. Eine einzige geschlossene Gleichung in x1, x2, x3 ist dort nicht möglich. --> Kreisgleichung für R^3 --> Kreisgleichung --> Kreisbogen Interpolation mY+

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