Jede stetige Abbildung R->N konstant |
25.01.2016, 15:31 | MaDnezz | Auf diesen Beitrag antworten » |
Jede stetige Abbildung R->N konstant ich bin grade bei der Klausurvorbereitung für meine Analysis 1 Klausur und hänge an einer Aufgabe. Zu zeigen ist, dass jede stetige Abbildung von den reellen Zahlen in die natürlichen Zahlen konstant ist. Das erscheint für mich auf den ersten Blick ziemlich einleuchtend, leider habe ich grade bei solchen Aufgaben, wo ich mir im ersten Moment denke "Hey, das ist ja offensichtlich" Probleme diese auch zu beweisen. Hat jemand vllt einen Denkanstoß, oder Tipp wie ich an die Sache ran gehen könnte? (Bitte keine vollständige Lösung, dass bringt mich in der Klausur ja auch nicht wirklich weiter ) Vielen Dank schonmal |
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25.01.2016, 15:38 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Jede stetige Abbildung R->N konstant Untersuche die Menge . Edit: Hilfestellungen entfernt -- dann hast du etwas mehr zu gruebeln |
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25.01.2016, 16:16 | MaDnezz | Auf diesen Beitrag antworten » |
Mhm, das bringt mich leider noch nicht wirklich weiter Wenn die Abbildung konstant ist enthält die Menge alle Elemente von R. Wenn sie das nicht ist, kann ich doch gar nicht so viele Aussagen zu der Menge treffen, außer dass sie nicht leer ist und nicht alle x aus R enthält, oder? |
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25.01.2016, 16:39 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nicht-leer ist eine der 3 Eigenschaften auf die ich hinaus wollte. Man kann über Widerspruch argumentieren, indem du annimmst sie ist nicht konstant und du ein nimmst, s.d. du dieses durch Elemente in der Menge approximieren kannst. Eleganter ist zu benutzen, dass die einzige offene und abgeschlossene (nicht-leere) Menge ist. |
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25.01.2016, 17:16 | MaDnezz | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ah okay, würde es schon reichen folgendermaßen zu argumentieren? Sei x f(). Damit ist {x} in offen. Deshalb muss auch (x) offen in sein. Somit muss (x) = , da das einzige offene,abgeschlossene Intervall ist (da (x) nicht leer sein kann wegen x f()) . Somit ist f konstant. |
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25.01.2016, 17:25 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » |
Schon sehr gut, aber bis jetzt hast du nur gezeigt, dass offen ist. Es mag ja sein, dass die einzige nicht-leere offene Menge ist, die abgeschlossen ist, aber es ist sicher nicht die einzige nicht-leere offene Menge |
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25.01.2016, 17:32 | MaDnezz | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das heißt ich müsste jetzt noch die Abgeschlossenheit und die daraus resultierende Stetigkeit mit einflechten? |
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25.01.2016, 17:34 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » |
Verstehe nicht was du mit resultierender Stetigkeit meinst. Stetigkeit hast du bereits benutzt als du gesagt hast, dass das Urbild offener Mengen wieder offen ist. |
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25.01.2016, 17:40 | MaDnezz | Auf diesen Beitrag antworten » |
Sorry, meine Konstanz. Die Schlussfolgerung gilt ja, wenn ich dich richtig verstanden hab erst, wenn ich auch noch die Abgeschlossenheit ins Spiel bringe. |
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25.01.2016, 17:44 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » |
Genau. Also zu zeigen ist ist abgeschlossen. |
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25.01.2016, 17:50 | nahörmal | Auf diesen Beitrag antworten » |
Am einfachsten wäre hier einfach ein Beweis durch Widerspruch: Nehme an dein Funktion sei non-konstant, und über die epsilon-delta-Defn kommst du mit epsilon = 1/2 ganz gut ran... |
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25.01.2016, 18:00 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » |
@nahoermal Das Problem damit ist, dass Stetigkeit eine lokale Aussage ist. Damit bekommst du also, dass die Funktion lokal konstant ist. Du musst aber noch ausnutzen, dass die reellen Zahlen zusammenhaengend sind. So stimmt die Aussage schliesslich auf z.B. ja nicht. Und dann wirst du dir im Beweis per Widerspruch einen Punkt suchen muessen, wo es wirklich springt. D.h. s.d. . Ob das so viel einfacher ist, wage ich zu bezweifeln. |
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25.01.2016, 18:02 | MaDnezz | Auf diesen Beitrag antworten » |
Puuh, der letzte Schritt fällt mir grade irgendwie extrem schwer Muss jetzt auch erstmal zum Unisport, vielen vielen Dank für die Hilfe bis hierhin, würde mich dann später nochmal melden |
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