Jede stetige Abbildung R->N konstant

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MaDnezz Auf diesen Beitrag antworten »
Jede stetige Abbildung R->N konstant
Hallo Leute,
ich bin grade bei der Klausurvorbereitung für meine Analysis 1 Klausur und hänge an einer Aufgabe.

Zu zeigen ist, dass jede stetige Abbildung von den reellen Zahlen in die natürlichen Zahlen konstant ist.

Das erscheint für mich auf den ersten Blick ziemlich einleuchtend, leider habe ich grade bei solchen Aufgaben, wo ich mir im ersten Moment denke "Hey, das ist ja offensichtlich" Probleme diese auch zu beweisen. Hat jemand vllt einen Denkanstoß, oder Tipp wie ich an die Sache ran gehen könnte?
(Bitte keine vollständige Lösung, dass bringt mich in der Klausur ja auch nicht wirklich weiter Augenzwinkern )

Vielen Dank schonmal smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jede stetige Abbildung R->N konstant
Untersuche die Menge .

Edit: Hilfestellungen entfernt -- dann hast du etwas mehr zu gruebeln Augenzwinkern
MaDnezz Auf diesen Beitrag antworten »

Mhm, das bringt mich leider noch nicht wirklich weiter unglücklich

Wenn die Abbildung konstant ist enthält die Menge alle Elemente von R. Wenn sie das nicht ist, kann ich doch gar nicht so viele Aussagen zu der Menge treffen, außer dass sie nicht leer ist und nicht alle x aus R enthält, oder?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht-leer ist eine der 3 Eigenschaften auf die ich hinaus wollte. Man kann über Widerspruch argumentieren, indem du annimmst sie ist nicht konstant und du ein nimmst, s.d. du dieses durch Elemente in der Menge approximieren kannst.

Eleganter ist zu benutzen, dass die einzige offene und abgeschlossene (nicht-leere) Menge ist.
MaDnezz Auf diesen Beitrag antworten »

Ah okay, würde es schon reichen folgendermaßen zu argumentieren?

Sei x f(). Damit ist {x} in offen. Deshalb muss auch (x) offen in sein. Somit muss (x) = , da das einzige offene,abgeschlossene Intervall ist (da (x) nicht leer sein kann wegen x f()) . Somit ist f konstant.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Schon sehr gut, aber bis jetzt hast du nur gezeigt, dass offen ist. Es mag ja sein, dass die einzige nicht-leere offene Menge ist, die abgeschlossen ist, aber es ist sicher nicht die einzige nicht-leere offene Menge Augenzwinkern
 
 
MaDnezz Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt ich müsste jetzt noch die Abgeschlossenheit und die daraus resultierende Stetigkeit mit einflechten? smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe nicht was du mit resultierender Stetigkeit meinst. Stetigkeit hast du bereits benutzt als du gesagt hast, dass das Urbild offener Mengen wieder offen ist.
MaDnezz Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, meine Konstanz. Die Schlussfolgerung gilt ja, wenn ich dich richtig verstanden hab erst, wenn ich auch noch die Abgeschlossenheit ins Spiel bringe.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Also zu zeigen ist ist abgeschlossen.
nahörmal Auf diesen Beitrag antworten »

Am einfachsten wäre hier einfach ein Beweis durch Widerspruch:

Nehme an dein Funktion sei non-konstant, und über die epsilon-delta-Defn kommst du mit epsilon = 1/2 ganz gut ran...
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

@nahoermal

Das Problem damit ist, dass Stetigkeit eine lokale Aussage ist. Damit bekommst du also, dass die Funktion lokal konstant ist. Du musst aber noch ausnutzen, dass die reellen Zahlen zusammenhaengend sind. So stimmt die Aussage schliesslich auf z.B. ja nicht.

Und dann wirst du dir im Beweis per Widerspruch einen Punkt suchen muessen, wo es wirklich springt. D.h. s.d. . Ob das so viel einfacher ist, wage ich zu bezweifeln.
MaDnezz Auf diesen Beitrag antworten »

Puuh, der letzte Schritt fällt mir grade irgendwie extrem schwer Big Laugh

Muss jetzt auch erstmal zum Unisport, vielen vielen Dank für die Hilfe bis hierhin, würde mich dann später nochmal melden smile
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