Existenz uneigentliches Integral

25.01.2016, 16:19

MasterWizz

Existenz uneigentliches Integral

Hey Leute,

mir geht es um folgendes uneigentliches Integral:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\infty}^{t}\dfrac{f(x)}{(t-x)^{\alpha-m}}\,\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} m=\lfloor\alpha\rfloor \end{eqnarray*}$ ist.

Jetzt meine Frage:
Wisst ihr unter welchen Voraussetzungen an die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ das uneigentliche Integral existiert?

Meine Vermutung:
Ich glaube es genügt, wenn gilt: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{a\rightarrow -\infty}f(a) = 0 \end{eqnarray*}$ . Aber ich kann meine Vermutung nicht beweisen.

Könnt ihr mir genaueres sagen oder mir einen Ansatz verraten, wie ich meine Vermutung beweisen oder widerlegen kann?

25.01.2016, 17:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von MasterWizz
Ich glaube es genügt, wenn gilt: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{a\rightarrow -\infty}f(a) = 0 \end{eqnarray*}$ . Aber ich kann meine Vermutung nicht beweisen.

Kein Wunder: Betrachten wir z.B. $\begin{align*} f(x) = (t-x)^{\alpha-m-1} \end{align*}$ für $\begin{align*} x\leq t-1 \end{align*}$ (sonst 0), dann ist

$\begin{align*} \int\limits_{-\infty}^t \frac{f(x)}{(t-x)^{\alpha-m}} ~ \dd x = \int\limits_{-\infty}^{t-1} \frac{1}{t-x} ~ \dd x = \int\limits_1^{\infty} \frac{1}{u} ~ \dd u = \infty \end{align*}$ .

Und es gilt sehr wohl $\begin{align*} \lim_{a\to -\infty} f(a) = 0 \end{align*}$ für dieses $\begin{align*} f \end{align*}$ , und zwar für jedes nur denkbare $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ .

25.01.2016, 19:23

MasterWizz

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Nach langem Suchen habe ich was interessantes gefunden!

In einer Quelle wird behauptet, dass das Integral:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\infty}^{t}\dfrac{f(x)}{(t-x)^{1-\alpha}}\,\mathrm{d}x\qquad \alpha\in\mathbb{R}^+ \end{eqnarray*}$

konvergiert, falls

$\begin{eqnarray*} f(t)=\mathcal{O}(|t|^{-\alpha-\varepsilon}),\qquad \varepsilon>0,\quad t\rightarrow-\infty \end{eqnarray*}$

Ich habe keinerlei Ahnung, wie ich anfangen soll das zu beweisen. Hat jemand für mich einen Ansatz?

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