Ableitung, Differentialquotient und andere Definition

25.01.2016, 17:45

fragenur

Ableitung, Differentialquotient und andere Definition

Guten Abend,

es geht um "Ableitung". Und zwar:

Die Definition für die Ableitung an einem Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist ja
$\begin{eqnarray*} f'(x_0) := \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

(also wenn dieser Grenzwert existiert und endlich ist)

Dann gilt
$\begin{eqnarray*} f(x_0+h) = f(x_0) + f'(x_0)\cdot h + o(h),\ \ h\to 0 \end{eqnarray*}$ (*)

und das ist sogar äquivalent zur Definition.

Ok und nun weiß ich dass für h gegen Null der Term o(h) sogar mehr fordert als o(1), nämlich dass dies ein Term ist der dividiert durch h gegen Null konvergiert (aber h geht auch gegen Null).

Nun zur eigentlichen Frage:
Diese Gleichung (*) zeigt ja anschaulich dass die Funktionswerte in einer Umgebung von x0 durch eine lineare Funktion ("Gerade" / Tangente) approximierbar sind plus Fehler o(h).

Gibt es eine Funktion für die gilt
$\begin{eqnarray*} f(x_0+h) = f(x_0) + f'(x_0)\cdot h + o(1),\ \ h\to 0 \end{eqnarray*}$ (**)
also dass die Werte auch durch eine Gerade approximierbar sind plus ein Fehler aber diesmal o(1) statt o(h)

Anschaulich hätte ich eher (**) als gegeben vorausgesetzt, mir ist nicht klar warum das mit der Limes-Gleichung nicht übereinstimmen muss. Gibt es ein (Gegen-)Beispiel?

Die Gl. (**) würde ich so begründen:
$\begin{eqnarray*} f(x_0+ \Delta x ) \approx f(x_0) + f'(x_0)\cdot \Delta x \end{eqnarray*}$

ist eine mir bekannte Gleichung die doch gerade genau das obige aussagt, nämlich die Approximierung durch eine lineare Funktion.

Warum lässt sich daraus nicht (**) folgern?

Viele Grüße

25.01.2016, 17:58

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RE: Ableitung, Differentialquotient und andere Definition
Betrachte die Betragsfunktion an der Stelle x_0=0

25.01.2016, 18:16

fragenur

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Danke für die Antwort, mal schauen ob ich das verstehe....

Ok also dass die Betragsfkt da in x0 = 0 nicht diffbar ist weiß ich und zwar wegen der klassischen Limes-Definition. Da stimmt nämlich links- und rechtsseitiger Grenzwert nicht überein. Folglich gibt es kein Grenzwert, also nicht differenzierbar.

Wo hakt es nun mit "meiner" Gleichung (**) ?

Eingesetzt ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} 0 = 0 + f'(0) h + o(1),\ \ h\to 0 \end{eqnarray*}$

Also
$\begin{eqnarray*} f'(0) h = o(1) \end{eqnarray*}$

Aber h geht gegen Null, das heißt wir könnten hier jede beliebige "Ableitung" ausdenken und jede würde funktionieren?

Ist es denn irgendwo gesagt dass der Wert eindeutig sein muss?
In der Limes-Defn ist mir das klar (der ist eben eindeutig wenn er denn exisitert), in der Schreibweise (*) ist mir das schon nicht mehr so direkt anschaulich klar, dass dieser Wert f'(x0) eindeutig sein muss....

Leider noch Fragen über Fragen...

25.01.2016, 18:22

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woher kommt beim Einsetzen die Null auf der linken Seite?
Edit: Aber die Schlussfolgerung hinsichtlicher des beliebigen Wertes der Ableitung ist richtig. Und was würde eine Ableitung - die ja immer in einem Punkt definiert ist - nutzen, wenn sie an einem Punkt auch mal beliebige Werte annehmen kann?

25.01.2016, 18:57

fragenur

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Das kommt daher:

$\begin{eqnarray*} x_0:=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_0+h) = f(0+h) = |h|=h \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} h>0 \end{eqnarray*}$

und da h gegen null geht ... hätte ich dort o(1) schreiben müssen?

Zusammen mit dem o(1) auf der anderen Seite ergibt dies o(1)-o(1)=o(1) also letztlich wieder das was ich auch geschrieben habe mit der null auf der einen Seite und o(1) auf der anderen ?

Nun anschaulich ist mir aber immer noch nicht klar warum es sozusagen nicht "ausreicht" dass der Rest "nur" sehr "klein" wird also o(1) sondern es o(h) sein muss? Kann man das irgendwie noch anders zeigen?

25.01.2016, 19:21

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Ah, du hast |h| (nicht h, denn es ist nicht klar, dass h>0 gilt!) auf die rechte Seite geschafft.

$\begin{eqnarray*} f'(x_0)h \end{eqnarray*}$ fängt sozusagen Abweichungen ein, die höchstens linear in h sind.
Alles was dann noch kommt, sollte doch dann vernünftigerweise eine Abweichung darstellen, der kleiner ist und das steckt in dem o(h). Du lässt mit dem o(1) dann aber Abweichungen zu, die größer sind.

25.01.2016, 21:11

fragenur

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Jetzt mal ganz blöd gefragt: Woran scheitert es dann wenn man die richtige Gleichung nutzt und zwar wieder bei der Betragsfunktion und ich einfach mal behaupte dass f'(0)=0 sei ??

$\begin{eqnarray*} f(x_0+h) = f(x_0) + f'(x_0)\cdot h + o(h),\ \ h\to 0 \end{eqnarray*}$

mit x0=0 und h>0 finden wir
h = |h| = f(h) = o(h), für h gegen Null

aber f(h) = h und das ist nicht o(h) weil h/h=1 und nicht 0...

Für die Anschulichkeit ist es mir aber immer noch nicht ganz klar, da ich zwar per Definition den Unterschied von o(1) und o(h) kenne aber halt irgendwie noch nicht richtig sehe warum wir für die Ableitung die obige Gleichung mit o(h) unbedingt brauchen...

25.01.2016, 21:19

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Zitat:

Woran scheitert es dann

du hast ja schon im weiteren Fortgang selbst festgestellt, woran es scheitert.

Keine Ahnung, was für dich anschaulich ist oder welche Art von Erklärung du erwartest.
Mir reicht die Erkenntnis, dass bei dieser Definition die "Ableitung" in einem Punkt beliebige Werte annehmen kann, um das ganze für wenig sinnvoll zu halten.

25.01.2016, 21:21

005

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$\begin{eqnarray*} (x+h)^2-x^2=he^x-h(e^x-2x-h)=he^x+o(1) \end{eqnarray*}$

Folgerung: $\begin{eqnarray*} (x^2)'=e^x. \end{eqnarray*}$

26.01.2016, 02:39

555

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Man koennte weiter ausfuehren, dass die Gleichung

$\begin{eqnarray*} f(x+h)=f(x)+ch+r(h) \end{eqnarray*}$

fuer $\begin{eqnarray*} h\ne0 \end{eqnarray*}$ aequivalent ist zu

$\begin{eqnarray*} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=c+\frac{r(h)}{h}. \end{eqnarray*}$

Daraus erhellt: $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist genau dann an der Stelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ differenzierbar, wenn eine solche Darstellung mit einer Konstanten $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ und einer Funktion $\begin{eqnarray*} r(h) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim_{h\to0}r(h)/h=0 \end{eqnarray*}$ existiert. Es ist dann $\begin{eqnarray*} f'(x)=c \end{eqnarray*}$ .

Also ist $\begin{eqnarray*} r(h)=o(h) \end{eqnarray*}$ und natuerlich nicht $\begin{eqnarray*} o(1) \end{eqnarray*}$ . Erstens frisst $\begin{eqnarray*} o(1) \end{eqnarray*}$ beliebige in $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ lineare Terme auf, bzw. borgt einem lineare Nonsensterme nach Laune, es ist auch zu wenig, um wieder den Grenzuebergang des Differenzenquotienen zur Ableitung zu rekonstruieren.

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