Grenzwert Funktion, linksseitig rechtsseitig

25.01.2016, 18:03

fragenur

Grenzwert Funktion, linksseitig rechtsseitig

Guten Abend,

der Grenzwert eine Funktion (in x0) ist ja über den Grenzwert von Folgen recht abstrakt definiert und beinhaltet eine Aussage, die für alle Folgen die gegen x0 konvergieren gelten muss.

Gilt folgendes?

Der linksseitige Grenzwert von f für x gegen x0 ist L
Der rechtsseitige Grenzwert von f für x gegen x0 ist L

Dann und nur dann ist der Grenzwert von f für x gegen x0 gleich L.

~Ciao

26.01.2016, 07:14

IfindU

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RE: Grenzwert Funktion, linksseitig rechtsseitig
Das stimmt -- für die reellen Zahlen. Die Definition ist so abstrakt, weil sie für viel allgemeinere Räume definiert ist.

Wie du das zeigen kannst: Die eine Richtung ist trivial (Wenn alle Folgen "gut" konvergieren, dann auch welche, die nur auf einer Seite von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ leben). Die andere Nimm dir eine allgemein Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n \to x_0 \end{eqnarray*}$ . Wenn es bis auf endlich viele auf einer Seite bleibt ist, ist die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} f(x_n) \end{eqnarray*}$ klar (endlich viele sind für Konvergenz irrelevant.)

Ansonsten teile $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ in 2 Folgen $\begin{eqnarray*} (x_n^L) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x_n^R) \end{eqnarray*}$ , indem du die Werte von $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ die links von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ liegen in $\begin{eqnarray*} x_n^L \end{eqnarray*}$ schreibst, und den Rest in $\begin{eqnarray*} x_n^R \end{eqnarray*}$ . Beide Folgen konvergieren gegen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und nach Voraussetzung liefert $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ den richtigen Grenzwert. Daraus kann man folgern, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f(x_n) = L \end{eqnarray*}$ .

26.01.2016, 20:20

fragenur

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Ok, ist das Argument also sozusagen, dass wenn der Funktionswert der links- und rechtsseitige Folgen gegen einen gemeinsamen Wert kovergieren, dass dann sich alle beliebigen Folgen (also insb auch solche die weder fast immer links oder rechts sind, also z.B. so alternierende um x0 herum) mit Grenzwert x0 aus Folgen der rechtsseitig und linksseitigen zusammengesetzt werden kann und damit auch den selben Grenzwert haben muss?

26.01.2016, 20:23

fragenur

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Ah jetzt verstehe ich erst warum die eine beliebige Folge mit Grenzwert x0 genommen hast:
Weil du an der gezeigt hast, dass ihr Funktionswert auch gegen den selben Wert konvergiert wie irgendwelche linken oder rechtsseitigen Folgen. Und da hat man wieder direkt die klassische Definition also man hat gezeigt dass für alle Folgen xn mit Grenzwert x0 gilt: f(xn) gegen f(x0).

27.01.2016, 06:19

IfindU

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Genau. Das funktioniert auch für alle endlichen Richtungen. Z.B. sei $\begin{eqnarray*} D = (\{ 0 \} \times \mathbb R) \bigcup ( \mathbb R \times \{ 0 \} ) \end{eqnarray*}$ , also die Koordinatenachsen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} f : D \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig in der $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , genau dann wenn der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert existieren und übereinstimmen, aber noch zusätzlich obere und untere Grenzwert übereinstimmen mit dem gleichen Grenzwert wie die vorigen.

Das Argument versagt bei $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R^2 \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ bereits. Es gibt einfach zu viele Arten sich der $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ anzunähern.

27.01.2016, 22:45

fragenur

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Danke für die - sehr hilfreiche - Antwort

Zitat:

Original von IfindU
Genau. Das funktioniert auch für alle endlichen Richtungen. Z.B. sei $\begin{eqnarray*} D = (\{ 0 \} \times \mathbb R) \bigcup ( \mathbb R \times \{ 0 \} ) \end{eqnarray*}$ , also die Koordinatenachsen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} f : D \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig in der $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , genau dann wenn der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert existieren und übereinstimmen, aber noch zusätzlich obere und untere Grenzwert übereinstimmen mit dem gleichen Grenzwert wie die vorigen.
...

Und zwar weil man hier abzählbar viele Richtungen hat (4 Stück), von denen man sich nähern kann. Das heißt irgendwelche Folgen "xn" die sich dem Pkt (0|0) aus R² nähern (zu ihm konvergieren), kann man in 4 Teilfolgen zerlegen die jeweils ausschließlich auf einer Seite sind (oder dem Pkt (0|0) ) und diese konvergieren folglich auch alle gegen x0 und (dann was zu zeigen ist) ihr Funktionswert gegen f(x0) (das ist jeweils der links,recht,oben,unten-seitige Grenzwert) Und damit wenn diese alle übereinstimmen auch die belibig gegen x0 konv. gewählte Folge hat nun f(xn)->f(x0)

28.01.2016, 06:28

IfindU

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Abzälhbar viele Richtungen sind schon zu viele -- der Schlüssel liegt darin, dass es endlich viele Richtungen sind. Bei abzählbar vielen Richtungen kann die Folge von einer Richtung zur anderen springen.

Das sind Standardthemen von Analysis 2 -- und ich denke diese Vorlesung komm bei dir noch. Daher eine etwas ausführlichere Erklärung, was bei unendlich vielen Richtungen passieren kann. Sei $\begin{eqnarray*} (\varphi_n)_{n \in \mathbb N} \subset [0, 2\pi) \end{eqnarray*}$ eine Folge von unterschiedlichen Winkel und $\begin{eqnarray*} v_n = \binom{\cos(\varphi) }{\sin(\varphi)} \in S^1 \end{eqnarray*}$ eine Folge von Richtungen. Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ derart, dass es in folgenderweise bzgl. allen Richtungen in $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ stetig ist: Es gelte für $\begin{eqnarray*} r > 0 \end{eqnarray*}$ die Gleichung $\begin{eqnarray*} | f( r v_n ) - f(0) | = n r \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} r \to 0 \end{eqnarray*}$ konvergiert $\begin{eqnarray*} r v_n \end{eqnarray*}$ (unabhaengig von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ) gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , und fuer festes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gilt offenbar $\begin{eqnarray*} \lim_{r\to 0} f(r v_n) = f(0) \end{eqnarray*}$ laut der Annahme oben.

Diese Konvergenz ist aber nicht gleichmaessig in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ! Wenn wir uns als Nullfolge nun $\begin{eqnarray*} x_n = \frac 1 n v_n \end{eqnarray*}$ definieren, dann gilt offenbar $\begin{eqnarray*} x_n \to 0 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} |f(x_n) - f(0)| = n \cdot \frac 1 n = 1 \end{eqnarray*}$ und damit muss $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} f(x_n) \end{eqnarray*}$ nicht einmal zu existieren, aber falls doch ist garantiert $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f(x_n) \neq f(0) \end{eqnarray*}$ .

Bei endlich vielen Richtungen ist die Konvergenz gleichmäßig in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , da es nur endlich viele davon gibt. Laeuft darauf hinaus, dass das Maximum einer endlichen Menge immer existiert.

Natuerlich alles unter der Annahme, dass es ein $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} | f( r v_n ) - f(0) | = n r \end{eqnarray*}$ gibt, und es somit a priori nur ein 'theoretisches' Problem ist, und in Wirklichkeit reicht es doch alle Richtungen zu pruefen. Man kann sich allerdings so ein f explizit hinschreiben, wodurch das Problem wirklich existiert -- außerdem gibt es zahlreiche weitere explizite Beispiele.

Wenn du nicht alles verstehst, ist es wohl nicht wirklich schlimm. Sieh es einfach als kleinen Einblick in die Probleme der mehrdimensionalen Analysis.

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