Mengenfamilie mit abzählbarem Charakter, welche aber keinen endlichen Charakter hat.

25.01.2016, 18:10	fenderbender69	Auf diesen Beitrag antworten »
Mengenfamilie mit abzählbarem Charakter, welche aber keinen endlichen Charakter hat. Hallo allerseits, in einer Aufgabe soll man den Begriff "Mengenfamilie von abzählbarem Charakter" analog zu folgendem Begriff einer "Mengenfamilie von endlichem Charakter" definieren: Sei $\begin{eqnarray} $\mathcal{F}$ \end{eqnarray}$ eine Menge von Mengen. Dann wird $\begin{eqnarray} $\mathcal{F}$ \end{eqnarray}$ Familie von endlichem Charakter genannt, wenn folgendes erfüllt ist: $\begin{eqnarray} $\forall X \colon X \in \mathcal{F} \leftrightarrow (\forall Y \subseteq X \colon Y \text{ endlich } \rightarrow Y \in \mathcal{F})$ \end{eqnarray}$ In weiterer Folge soll man dann eine Menge angeben, welche abzählbaren aber nicht endlichen Charakter hat. Ich hätte Familie von abzählbarem Charakter einfach so definiert, dass ich in obiger Definition das "endlich" durch "endlich oder abzählbar unendlich" ersetze. Allerdings, tue ich mir schwer eine Menge zu finden, welche den obigen Anforderungen gerecht wird. Gibt es so eine überhaupt? Vielen Dank im Voraus. Viele Grüße
25.01.2016, 19:11	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenfamilie mit abzählbarem Charakter, welche aber keinen endlichen Charakter hat. Deine Definition des abzählbar unendlichen Charakters klingt plausibel. Etwas kürzer könnte man statt "endlich oder abzählbar unendlich" die Formulierung "höchstens abzählbar unendlich" wählen. Für das Gegenbeispiel schau dir die Menge der natürlichen Zahlen und ihre endlichen Teilmengen an.
25.01.2016, 21:45	fenderbender69	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort! Ich hatte bereits versucht die Menge der endlichen Teilmengen einer abzählbar unendlichen Menge zu betrachten. Dabei hatte ich nie bedacht, dass die $\begin{eqnarray} \leftarrow \end{eqnarray}$ Richtung der Äquivalenz für den Fall des abzählbaren Charakters ja trivialerweise erfüllt ist wenn $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ eine abzählbar unendliche Menge ist, da die abzählbar unendlichen Teilmengen von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ die Implikation $\begin{eqnarray} Y \text{ höchstens abzählbar } \rightarrow Y \in \mathcal{F} \end{eqnarray}$ nicht erfüllen und es somit egal ist, ob $\begin{eqnarray} X \in \mathcal{F} \end{eqnarray}$ . Im Fall des endlichen Charakters ist allerdings jede endliche Teilmenge von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathcal{F} \end{eqnarray}$ enthalten, jedoch gilt $\begin{eqnarray} X \not \in \mathcal{F} \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ nicht endlich ist. Stimmt meine Argumentation soweit?
25.01.2016, 23:15	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe leider nicht, was du mir da sagen willst. Kann aber gut an mir und dem Thema liegen Ich hätte gesagt, das System $\begin{eqnarray} \mathcal{F} \end{eqnarray}$ der endlichen Teilmengen von $\begin{eqnarray} \mathbb{N} \end{eqnarray}$ ist nicht von endlichem Charakter. Wegen der Richtung $\begin{eqnarray} \leftarrow \end{eqnarray}$ müsste nämlich auch $\begin{eqnarray} \mathbb{N}\in \mathcal{F} \end{eqnarray}$ sein Das System ist aber von abzählbarem Charakter. Weil z.B. die abzählbare Menge der geraden Zahlen nicht in $\begin{eqnarray} \mathcal{F} \end{eqnarray}$ ist, kann man auch nicht folgern, dass $\begin{eqnarray} \mathbb{N}\in \mathcal{F} \end{eqnarray}$ sein müsste. Ah, wenn ich deinen Post jetzt nochmal lese, hattest du die gleiche Idee
26.01.2016, 02:34	fenderbender69	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, das habe ich wohl etwas zu umständlich formuliert. Aber ich denke auch, dass wir im Grunde dasselbe gemeint haben.

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