Ableitung arctan()

25.01.2016, 20:38

gonzo91

Ableitung arctan()

Hallo zusammen,

ich sitze gerade an einem Beweis und es kommt einfach nicht heraus, was herauskommen soll. Big Laugh

Vielleicht kann mir jemand helfen.

Ich möchte die Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x) = arctan(\frac{x+y}{1-xy} ) \end{eqnarray*}$ nach x differenzieren. Das sollte mit Quotienten- und Kettenregel eigentlich auch kein Problem sein, aber ich komme einfach nicht weiter, hier mein bisheriger Rechenweg:

Innere Ableitung: $\begin{eqnarray*} \frac{(1-xy)+xy+y^2}{(1-xy)^2} <=> \frac{1+y^2}{(1-xy)^2} \end{eqnarray*}$
Äußere: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+ \frac{(x+y)^2}{(1-xy)^2} } \end{eqnarray*}$

Mit der Kettenregel folgt jetzt: $\begin{eqnarray*} \frac{1+y^2}{(1-xy)^2} * \frac{1}{1+ \frac{(x+y)^2}{(1-xy)^2} } \end{eqnarray*}$

Das habe ich weiter vereinfacht zu: $\begin{eqnarray*} \frac{1+y^2}{(1-xy)^2+(x+y)^2} \end{eqnarray*}$

Herauskommen sollte aber: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

25.01.2016, 20:53

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung arctan()
Steht doch da.

25.01.2016, 20:53

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du mal $\begin{align*} (1-xy)^2+(x+y)^2 \end{align*}$ ausmultipliziert? Und dann versucht das Ergebnis wieder zu faktorisieren?

25.01.2016, 20:53

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Rechnung stimmt so weit. Quadriere im Nenner aus und faktorisiere den Term. Das Rechenziel verrät, wie zu faktorisieren ist.

EDIT
Da hat wohl die gesammelte Fachkompetenz des MatheBoards zugeschlagen, wie ich in der mir eigenen Unbescheidenheit vermerken darf.

26.01.2016, 00:21

gonzo91

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

EDIT Da hat wohl die gesammelte Fachkompetenz des MatheBoards zugeschlagen, wie ich in der mir eigenen Unbescheidenheit vermerken darf.

Scheint so. Big Laugh

Vielen Dank für die Hilfe, hatte beim ausmultiplizieren xy^2 auf den Schmiezettel gekritzelt statt x^2y^2, deswegen konnte ich nicht faktorisieren. Jetzt habe ich es aber hinbekommen.

26.01.2016, 07:17

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Argument des Arcustangens hat die Struktur des Tangensadditionstheorems. Wählt man also $\begin{align*} \varrho,\sigma \in \left( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right) \end{align*}$ mit $\begin{align*} x = \tan \varrho, \, y = \tan \sigma \end{align*}$ , so folgt:

$\begin{align*} \frac{x+y}{1-xy} = \frac{\tan \varrho + \tan \sigma}{1 - \tan \varrho \cdot \tan \sigma} = \tan ( \varrho + \sigma) \end{align*}$

Damit ergibt sich:

$\begin{align*} \arctan \frac{x+y}{1-xy} = \arctan \left( \tan \left( \varrho + \sigma \right) \right) \end{align*}$

Und je nachdem, ob $\begin{align*} \left| \varrho + \sigma \right| < \frac{\pi}{2} \end{align*}$ oder $\begin{align*} \frac{\pi}{2} < \varrho + \sigma < \pi \end{align*}$ oder $\begin{align*} - \pi < \varrho + \sigma < - \frac{\pi}{2} \end{align*}$ ist, ist

$\begin{align*} \arctan \frac{x+y}{1-xy} = \varrho + \sigma = \arctan x + \arctan y \end{align*}$ oder $\begin{align*} \ldots - \pi \end{align*}$ oder $\begin{align*} \ldots + \pi \end{align*}$

Und so versteht man auch, warum die Ableitung nach $\begin{align*} x \end{align*}$ einfach $\begin{align*} \frac{1}{1+x^2} \end{align*}$ ergibt. Umgekehrt könnte man auch die Aufgabe verwenden, um das Additionstheorem des Arcustangens herzuleiten.

26.01.2016, 19:44

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Aaah, danke Leopold, das war erhellend Freude

Neue Frage »

Antworten »

Ableitung arctan()

Verwandte Themen