Schnittaxiom (Axiom der Ordnungsvollständigkeit)

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13ß2308ß9342asdfasf Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittaxiom (Axiom der Ordnungsvollständigkeit)
Hallo Zusammen,

ist sitze aktuell am "Lehrbuch der Analysis Teil 1" von Harro Heuser, dieses wurde mir empfohlen. Dabei befinde ich mich aktuell noch vor meiner Ausbildung zum Mathematiker, welches ich nächstes Semester angehen möchte.

In dem besagten Lehrbuch wird unter der Überschrift "Das Schnittaxiom" der Dedekindsche Schnitt (A|B) folgendermaßen definiert:
Ein Schnitt (A|B) liegt vor, wenn folgendes gilt:
1. A und B sind nichtleere Teilmengen von R, (Anm. Dabei ist R die Menge der reellen Zahlen)
2. A B=R
3. für alle a A und alle b B ist a < b.

Danach wird die Trennungszahl t folgendermaßen definiert:
Eine Zahl t heißt Trennungszahl des Schnittes (A|B), wenn
a t b für alle a A und alle b B ist.

Daraus wird nun das Schnittaxiom folgendermaßen Definiert:
Jeder Dedekindscher Schnitt besitzt eine, aber auch nur eine, Trennungszahl.


Ich Schließe aus Punkt 1, 2 und 3, dass folgendes gelten muss:
A B=.
Da ja die Vereinigung von A und B gleich der reellen Zahlen ist und für alle Elemente von A und B immer a<b gelten muss.

So, nun zu meiner Frage:
Laut meinem Verständnis hat, nach der Definition der Trennungszahl und unter Berücksichtigung der Angegebenen Punkte 1,2 und 3, jeder Detekindsche Schnitt immer genau 2 Trennzahlen.
Und zwar immer: das größte a aus A und das kleinste b aus B.

Kann mir jemand helfen meinen Gedankenfehler zu entdecken?

Vielen lieben Dank.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

es muss kein größtes Element aus geben, betrachte zum Beispiel die Zerlegung von in und .

Analog muss es kein kleinstes Element in geben.
13ß2308ß9342asdfasf Auf diesen Beitrag antworten »

Ok.

Das heißt also: In deinem angegebenen Beispiel wäre t=0 die Trennungszahl. Korrekt?

In A gibt es kein größtes Element, da es immer ein a_(n+1) gibt, welches größer als a_n ist.

Damit kann ich kann ich R auch nur durch 2 Intervalle gliedern, bei dem eines sowohl nach unten als auch nach oben offen ist.
Damit gäbe es dann auch immer nur eine Trennungszahl.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, t=0 wäre die Trennungszahl in dem Fall.

Zitat:
In A gibt es kein größtes Element, da es immer ein a_(n+1) gibt, welches größer als a_n ist.


Was genau du hier mit meinst, weiß ich nicht, denke aber, dass du das Richtige meinst.

Zitat:
Damit kann ich kann ich R auch nur durch 2 Intervalle gliedern, bei dem eines sowohl nach unten als auch nach oben offen ist.


Ich bin mir nicht sicher, was du hier sagen willst. Falls du meinst, dass in alle Schnitte so aussehen, wie der von mir als Beispiel gegebene, so liegst du richtig. Es kann höchstens sein, dass das andere Intervall halboffen ist, ansonsten sehen alle Schnitte so aus.

Das ist eben die Spezialität von , dort gibt es für jeden Schnitt immer ein , sodass der Schnitt entweder die Form oder die Form hat. Genau das besagt das Axiom, das du gerade bearbeitest. In wäre das zum Beispiel nicht der Fall.
13ß2308ß9342asdfasf Auf diesen Beitrag antworten »

Super, Danke.

Ich denke, ich hab es verstanden.

Zum ersten Zitat: Sorry, für meine unpräzise Schreibweise. Meinte damit:
Zu jedem gibt es stets ein mit . Wobei gilt.

Zum zweiten Zitat:
Perfekt. Danke.
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