Matrizen - Rangbestimmung in Abhängigkeit von s

26.01.2016, 11:17

Alina H.

Matrizen - Rangbestimmung in Abhängigkeit von s

Meine Frage:
Hallo liebe Community,

ich soll den Rang einer Matrix berechnen in Abhängigkeit von s $\begin{eqnarray*} \in\mathbb R \end{eqnarray*}$
Es handelt sich um eine M(4x5,IR) Matrix.

Wie muss ich hier anfangen?
Direkt nach dem Gaußverfahren vorgehen und einfach nach der Variable s auflösen?
Oder muss ich für s=0, s=1 und s=-1 setzen und dann interpretieren?

Meine Ideen:
Wie muss ich hier anfangen?
Direkt nach dem Gaußverfahren vorgehen und einfach nach der Variable s auflösen?
Oder muss ich für s=0, s=1 und s=-1 setzen und dann interpretieren?

26.01.2016, 11:51

klarsoweit

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RE: Matrizen - Rangbestimmung in Abhängigkeit von s
Gaußverfahren ist prinzipiell ok. Es wird aber vermutlich so sein, daß die Durchführung des Verfahrens an bestimmten Stellen vom Wert der Variablen s abhängig ist. Entsprechend mußt du diese Fälle unterscheiden, um das Gaußverfahren bis zum Ende zu bringen.

Mehr kann ich leider nicht sagen, da ich nicht weiß, wie die Matrix aussieht.

26.01.2016, 12:04

Alina H.

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RE: Matrizen - Rangbestimmung in Abhängigkeit von s
Vielen Dank schon einmal!

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & s & s+1 & 2s & 5 \\ 2 & s^{2} & 6 & 8 & 10 \\ 0 & 4-s & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So sieht die matrix aus. Ich sehe auch auf dem ersten Blick, dass für s=2 der Rang = 2 wäre und für s=-2 der Rang = 3 wäre.
Aber muss ich das nicht mit einer Berechnung zeigen? Bzw. um eventuelle andere Möglichkeiten zu zeigen?

26.01.2016, 12:49

Alina H.

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RE: Matrizen - Rangbestimmung in Abhängigkeit von s
Wäre wirklich super wenn Sie mir weiterhelfen könnten. Ich weiß gerade nämlich gar nicht mehr weiter..

26.01.2016, 12:53

klarsoweit

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RE: Matrizen - Rangbestimmung in Abhängigkeit von s
Sorge im nächsten Schritt dafür, daß in der ersten Spalte in den Zeilen 2 und 3 Nullen stehen. Dann sehen wir weiter.

26.01.2016, 13:06

Alina H.

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RE: Matrizen - Rangbestimmung in Abhängigkeit von s
Danke smile

Also wenn ich die II-I und die III-2*I nehme, dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & \frac{1}{2}*s & \frac{s+1}{3} & \frac{1}{2}*s & 0 \\ 0 & \frac{s^{2}}{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4-s & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Soweit war ich schon. Aber versetehe jetzt nicht wie ich die Abhängigkeit von s schriftlich zeigen soll?

26.01.2016, 13:18

klarsoweit

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RE: Matrizen - Rangbestimmung in Abhängigkeit von s
Ich weiß ja nicht, was du rechnest, aber ich komme auf:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & s-2 & s-2 & 2s-4 & 0 \\ 0 & s^2-4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4-s & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Offensichtlich entstehen weitere Nullzeilen, wenn s=2 oder s=-2 ist. Somit mußt du schon mal diese beiden Fälle unterscheiden.

26.01.2016, 13:33

Alina H.

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RE: Matrizen - Rangbestimmung in Abhängigkeit von s
Uff klar Hammer

, weiß nicht wieso ich auf Division gekommen bin verwirrt

Also hätte ich damit dann gezeigt wenn ich s=2 und s=-2 einsetze, dass für s=2 der Rang = 2 wäre und für s=-2 der Rang = 3 wäre?

Verstehe da nicht so ganz wie man das mathematisch aufschreiben muss, damit das gezeigt wird.

Außer diesen beiden Fällen ist der Rang doch sonst einfach 4, da ich sonst keine Nullzeile mehr bekomme, richtig?

26.01.2016, 13:42

klarsoweit

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RE: Matrizen - Rangbestimmung in Abhängigkeit von s

Zitat:

Original von Alina H.
Also hätte ich damit dann gezeigt wenn ich s=2 und s=-2 einsetze, dass für s=2 der Rang = 2 wäre und für s=-2 der Rang = 3 wäre?

Verstehe da nicht so ganz wie man das mathematisch aufschreiben muss, damit das gezeigt wird.

Nun ja, betrachte die beiden Fälle einzeln, setze jeweils den Wert für s ein und führe das Gaußverfahren zu Ende. (Was sonst?)

Zitat:

Original von Alina H.
Außer diesen beiden Fällen ist der Rang doch sonst einfach 4, da ich sonst keine Nullzeile mehr bekomme, richtig?

Das müssen wir noch sehen. Auch hier mußt du erst mal das Gaußverfahren zu Ende bringen.

26.01.2016, 14:34

Alina H.

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RE: Matrizen - Rangbestimmung in Abhängigkeit von s
Jetzt wo Sie es sagen, ist es für mich auch äußerst logisch und weiß nicht wieso ich überhaupt danach gefragt habe. Möchte es halt richtig machen und dann sehe ich manchmal die einfachsten Dinge nicht unglücklich

Dann würde ich für s=2

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

=> Also Für A(2)= Rang(2)

Und für für s=-2

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & -6 & -4 & -8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

=> Also Für A(-2)= Rang(3)

Um das Gaußverfahren zu Ende zu bringen muss ich weiter versuchen die Gleichungen auf Treppenform zu bringen?

Habe jetzt leider Vorlesung würde es dann heute Abend weiter machen. Wäre wirklich super lieb wenn "Du"mich dabei dann auch noch unterstützen könntest smile

P.S.: Schön, dass man sich hier dutzt smile

26.01.2016, 15:04

klarsoweit

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RE: Matrizen - Rangbestimmung in Abhängigkeit von s

Zitat:

Original von Alina H.
Und für für s=-2

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & -6 & -4 & -8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

=> Also Für A(-2)= Rang(3)

Um das Gaußverfahren zu Ende zu bringen muss ich weiter versuchen die Gleichungen auf Treppenform zu bringen?

Korrekt ist: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & -4 & -4 & -8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Alina H.
=> Also Für A(-2)= Rang(3)

Um das Gaußverfahren zu Ende zu bringen muss ich weiter versuchen die Gleichungen auf Treppenform zu bringen?

Genau. Und da die obige Matrix noch nicht auf Treppenform ist, kannst du den Rang eigentlich noch nicht ablesen.

Zitat:

Original von Alina H.
Wäre wirklich super lieb wenn "Du"mich dabei dann auch noch unterstützen könntest smile

Leider habe ich da keine Zeit. Aber im Grunde mußt du ja nur das Gaußverfahren weiter machen. Tipp: da die Fälle s=2 und s=-2 schon abgehakt sind, kannst du die 2. Zeile durch (s-2) und die 3. Zeile durch (s²-4) dividieren. smile

26.01.2016, 21:57

Alina H.

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RE: Matrizen - Rangbestimmung in Abhängigkeit von s
Mist, habe mich natürlich prompt ziemlich dämlich verrechnet..

Ok, also probier ich es nochmal:

Für s=2 erhalte ich damit die Treppenstufenform:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für s=-2 erhalte ich damit die Treppenstufenform:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 1/6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 12/5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(Nach unserem Lemma aus der VL ändert sich bei elementaren Zeilen-(Spalten)umformungen der Rang der Matrix nicht.)

Damit hätte ich doch dann die Ränge für A(2) und A(-2) mathematisch korrekt gezeigt?

Wenn ich die Matrix noch allgemein ins Gaussverfahren umforme erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4-s & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bzw. daraus

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4-s & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für jedes andere s außer s=2 und s=-2 bekomme ich doch dann immer den Rang = 4 raus da ich durch die 1 in der 2. Zeile den Term 4-s immer auf 0 gerechnet bekomme und damit die 4. Zeile mithilfe der Zeilen 2 und 3 ganz leicht auf Stufenform bekomme.

Oder übersehe ich noch einen Fall??

26.01.2016, 23:17

Alina H.

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RE: Matrizen - Rangbestimmung in Abhängigkeit von s
Wäre wirklich dankbar wenn mir noch jemand antworten würde Gott